京大理系数学'03年前期[5]
a，b，c，dを実数とする。2次の正方行列
と2次の単位行列Eに対して、集合
を
とする。このとき次の条件(＊)が成立するための、a，b，c，dについての必要十分条件を求めよ。
(＊) 
の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ
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解答 論理構造が複雑で、試験場では、答案をまとめるのに苦労するだろうと思います。
(i) 
のとき ・
ならば、
の要素はAにかかわらず無条件に零行列になります。 
が零行列となるのは、
のとき ･･･①
①以外のときで、
が逆行列をもつのは、
のとき ･･･②
・
のときには③は成立しないので、
は零行列に成り得ません。 このとき、
は、Aにかかわらず無条件に逆行列
をもちます。
・
のときには、③が成立するのは、 
かつ
のとき、 ･･･④
となれば、
は零行列になります。
となれば、
は、逆行列
をもちます。④が成立しないときには、
は零行列にはなり得ません。このとき、
が逆行列をもつのは、 のときです。
両辺を
で割り、
とおくと、 これが成立するのは、tの2次方程式：
が実数解をもたないときで、
判別式：
のとき ･･･⑤ (2次方程式の一般論を参照)
ここで、①は④に含まれます。
⑤ ⇔ 
より、②は⑤に含まれます。
従って、(＊) ⇒ ④または⑤
逆に、④が成立するとき、
の要素は
であって、
なら零行列になりますが、
なら逆行列をもつので、(＊)は成立します。
④が成立せず⑤が成立するとき、
の要素
は、
なら零行列になりますが、それ以外には零行列になる場合はなく、tの2次方程式：
は、判別式
より実数解をもたず、
より、
は逆行列をもつので、(＊)は成立します。
以上より、求める必要十分条件は、④または⑤で、
“
かつ
” または、
......[答]
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のとき、
の要素は
のとき、
の要素は、
が零行列となるのは、
かつ
のとき ･･･③
