京大理系数学'04年前期[6]
Nを自然数とする。
個の箱があり、1から
までの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号
の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(＊)を、おのおのの
に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。
(＊) k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)
操作がすべて終了した後、赤玉が番号
の箱に入っている確率を求めよ。
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解答 
のとき、番号1の箱に入っているのは白玉です。番号
の箱を選んだときに限り、操作(＊)を行った後に、番号1の箱に赤玉、番号
の箱に白玉が残ります。ですが、この時点で、番号2から番号Nまでの箱には白玉が入っています。
のとき、番号2の箱に入っているのは白玉です。番号
の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作(＊)を行った後に、番号2の箱に赤玉、番号
の箱に白玉が残ります。この時点で、番号3から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1，番号2の箱には赤玉が入っている可能性があります。
これを続けていくと、
として、
のとき、番号nの箱に入っているのは白玉です。番号
の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作(＊)を行った後に、番号nの箱に赤玉、番号
の箱に白玉が残ります。この時点で、番号
から番号Nまでの箱には白玉が入っています。番号1から番号nまでの箱には赤玉が入っている可能性があります。
のとき、番号Nの箱に入っているのは白玉です。番号
の箱を選び、赤玉が入っている場合に限り、操作(＊)を行った後に、番号Nの箱に赤玉、番号
の箱に白玉が残ります。
従って、
に対して、操作(＊)を行い、そのいずれにおいても番号
の箱が選ばれなかったとき、番号
の箱には赤玉が残ることになり、
のとき、番号1から番号Nの箱のどれかを選んで箱の中身を交換すると、番号
の箱には白玉が残ることになってしまいます。
に対して、操作(＊)を行い、そのいずれかにおいて番号
の箱が選ばれたときには、番号
の箱に入っているのは白玉です。なぜなら、上記のように、
に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行うのであれば、番号kの箱に入っているのは必ず白玉だからです。操作(＊)を行って、もう一つの箱として番号
の箱を選び、既にこの箱に白玉が入っていたとしても、番号
の箱に赤玉が戻ることはありえません。
ということは、操作(＊)を、
に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行って操作完了後、番号
の箱に赤玉が入っているのは、
に対して、操作(＊)を行い、そのいずれかの1回において番号
の箱が選ばれて、かつ、
のとき、番号1から番号Nの中で赤玉の入っている箱を選んで、番号
の箱と中身を交換した場合
に対して、操作(＊)を行い、そのいずれかにおいて番号
の箱が選ばれる事象Eの余事象
は、
そのいずれにおいても番号k以外のN個の箱から番号
の箱が選ばれないという事象で、
の確率は、確率
で起こる事象がN回繰り返されるので、
です。
Eの確率は、
です。
のとき、番号1から番号Nの箱の中から赤玉の入っている1個の箱を選ぶ確率は
よって、求める確率は、
......[答]
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