京大理系数学'06年前期[5]
に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
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解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分、平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、
を2つのベクトル
，
を使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。
正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。
Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･①
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･②
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･③
三角形PQRの重心をGとして、
，
･･･④
･･･⑤
さて、k，l，mについて、
という条件がありますが、④の中に登場する、
，
については、
，
･･･⑦
しかし、⑦を満たすようなk，l，mをとって、例えば、
，
としても⑦は満たされますが、
，
，後者より
となってしまって、⑥を満たすようなk，l，mをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)。
つまり、⑦だけでは、条件不足なのです。そこで、⑦に条件を加えて、この条件が満たされれば、⑥を満たすk，l，mの組が必ず存在するようにします。
④で、
を考えるとlが消えて
が出てくるので、
の取り得る値を考え、⑦に、
という条件を加え、
とします。
⑧を満たすk，l，mをとると、第2式と、第3式から、
，
を満たすどのような値にしても、⑧の第1式と⑥をすべて満たすような、k，lをとることができます(⑧の条件を満たすk，l，mの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)。
より、
より、
より、
右図で、辺ABを3等分する点をA側から、D，Hとします。
辺BCを3等分する点をB側から、E，Iとします。
辺CAを3等分する点をC側から、F，Jとします。
⑤式で定める点Gについて、
を満たすのは、
より、直線AC上の点。
を満たすのは、
より、直線HE上の点。
よって、
を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)。
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)。
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)。
以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形DHEIFJの内部(境界線は含まない)。 ......[答]
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