京大理系数学'07年前期乙[5]
Aを2次の正方行列とする。列ベクトル
に対し、列ベクトル
，
，･･･を
(
)
によって定める。あるゼロベクトルではない
について、3以上の自然数mで初めて
が
と一致するとき、行列
は単位行列であることを示せ。
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解答 行列
が出てくるので、ハミルトン・ケーリーの定理で次数下げを行うか、固有値・固有ベクトルを考えるかです。固有値では、
という条件を扱いにくいので、次数下げを考えることにします。
まず、行列Aのべき乗が、行列Aの1次式で表せること、つまり、kを2以上の整数として、
を、
(Eは2次の単位行列、
，
は実数)
という形に表わせる ･･･(＊) ことを、数学的帰納法で示します。
(Oは2次の零行列)よって、
，
として、
(
，
は実数、高校の範囲では行列の成分は実数です)と表せます。
(Ⅰ)より、
よって、
，
とすれば、
，
は実数で、これより、
と表せます。
と表せます。
(＊)より、
･･･① と表せます。
から、
･･･②
(i) 
のとき、
両辺にAをかけて、
･･･③
以後、くり返しAをかけることにより、
であり、
は実数なので、
このとき③より、
となり、
という条件に矛盾します。よって、この場合は不適です。 (ii) 
のとき、②より、
以上より、行列
は単位行列です。
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のとき、
(
，
は実数)と表せるとして、
より、
として、