京大理系数学'07年前期甲[4]
において、
の二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点を
とする。同様に
，
の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ
，
とする。このとき3直線
，
，
は1点Hで交わり、この点Hは三角形
の垂心と一致することを証明せよ。
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解答 ベクトルで解答することも考えられますが、円周角に目を付ければ、平凡に解決します。
の二等分線、
の二等分線，
の二等分線は、1点で交わり、交点は
の内心です。従って、3直線
，
，
は1点Hで交わり、Hは
の内心に一致します。
また、同一弦の上に立つ円周角は等しいので、
と
の交点をDとすると、
において、
よって、
同様にして、
，
よって、3直線
，
，
の交点Hは、三角形
の垂心と一致します。
(証明終)
追記 
の二等分線、
の二等分線，
の二等分線が1点で交わることについては、以下のようにして示します。
の二等分線，
の二等分線の交点をIとし、IからAB，BC，CAに垂線IP，IQ，IRを下ろします。
，
において、
，
，IB共通、より、
∴ 
･･･①
，
において、
，
，IC共通、より、
∴ 
･･･②
①，②より、
これと、
，IA共通より、
∴ 
よって、IAは
の二等分線であって、
の二等分線、
の二等分線，
の二等分線は1点Iで交わります。
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