三角形の内心 関連問題
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
三角形の各頂角の二等分線は1点で交わる。この点を内心と言う。
証明
三角形ABCの
の二等分線，
の二等分線の交点をIとし、IからAB，BC，CAに垂線IP，IQ，IRを下ろします。
，
において、
，
，IB共通、より、
∴ 
･･･①
，
において、
，
，IC共通、より、
∴ 
･･･②
①，②より、
これと、
，IA共通より、
∴ 
よって、IAは
の二等分線であって、
の二等分線、
の二等分線，
の二等分線は1点Iで交わります。
三角形ABCの
の二等分線と対辺BCの交点をDとすると、BD：DC = AB：AC ･･･(＊)であることが知られています。
これより、上記を平面ベクトルを用いて以下のように示すこともできます。
三角形ABCの
の二等分線，
の二等分線と対辺CA，ABとの交点をE，F，また、BEとCFの交点をIとして、AIの延長とBCとの交点をDとします。
各辺の長さを、
，
，
として、
(＊)より、
(ベクトルの内分・外分を参照)
より、BI：IE = 
：
，よって、
･･･③
･･･④ として、Dが辺AB上の点であることから、
(共線条件を参照)
∴ 
④に代入して、
これは、(＊)より、DがBCをn：mに内分する点であることを意味します(ベクトルの内分・外分を参照)。よって、ADは
の二等分線です。
なお、③式に、
を加えて、各頂点の位置ベクトル(ベクトルの1次独立を参照)を用いて表示し直すと、
これより、三角形ABCの内心の位置ベクトルを各辺の長さを
，
，
として、各頂点の位置ベクトルを用いて、
ときれいな形に表すことができます。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学基礎事項TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
