京大理系数学'08年乙[4]
定数aは実数であるとする。関数
と
のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。
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解答 式変形により甲[4]の問題に帰着します。
･･･①
･･･②
⇔ 
･･･③⇔ 
･･･④ または、
･･･⑤ 2次方程式④の判別式：
2次方程式⑤の判別式：
2次方程式④は、
，
のときに、相異なる2実数解、
のときに実数の重解をもち、
のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)。
2次方程式⑤は、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。
，
の場合に、③，⑤に共通解があるかどうか調べます。
④×3－⑤として、
∴ 
④に代入すると、
(i) 
のとき、 ④：
⑤：
よって、③は、
の3実数解を持ちます。 (ii) 
のとき、 ④：
⑤：
よって、③は、
の3実数解を持ちます。 (i)，(ii)以外のaについては、④，⑤が共通解を持つことはありません。
以上より、①，②のグラフの共有点の個数は、
・
のとき、3個 ・
のとき、2個 ......[答]
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(
です)
，
，
，
のとき、4個