京大理系数学'08年甲[2]
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点A，B，C，Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただしnは1以上の正数とする。
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解答 難問ではありませんが、こういう問題では、必ず、nの小さい場合の確率を別の方法で求めて検算を心がけるようにしましょう。なお、確率を参照してください。
余事象を考えます。4頂点A，B，C，Dのすべてに点Pが現れる事象の余事象は、2頂点だけに現れる事象と3頂点だけに現れる事象の和事象です。
(i) 点Pが2頂点だけに現れる場合
AとBだけに現れる事象と、AとCだけに現れる事象と、AとDだけに現れる事象の確率は同じなので、AとBだけに現れる場合を考えます。AとBだけに現れる、ということは、点Pは、AとBを交互に行ったり来たりする、ということです。AにいるときにBに行く確率は
，BにいるときにAに行く確率も
従って、時刻nまで、AとBだけに現れる確率は、
AとCだけ、AとDだけの場合を合わせて、
(ii) 点Pが3頂点だけに現れる場合
AとBとCに現れる事象、AとCとDに現れる事象、AとDとBに現れる事象の確率は同じなので、AとBとCに現れる事象を考えます。AとBとCに現れる、ということは、Aにいるときには、BまたはCのいずれか(確率
)にしか行かず、BにいるときにはCまたはAのいずれか(確率
)にしか行かず、CにいるときにはAまたはBのいずれか(確率
)にしか行きません。
但し、時刻nまでで、AとBとCに現れる事象の確率を
とすることはできません。なぜなら、この
の中には、AとBだけを往復する場合と、AとCだけを往復する場合が含まれているからです。
ＡとBとCのすべてに点Pが現れる確率は、
から往復する場合を2通り引いて、
AとCとD，AとDとBの場合も合わせて、
以上より、求める確率は、
......[答]
のとき、4頂点A，B，C，Dのすべてに点Pが現れる確率は、B，C，D，3文字の順列が
通り、全事象は、各時刻に3通りの行き方があるので、
通りで、
です。上の答で、
とすると、
です。
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