京大理系数学'08年甲[6]
空間内に原点Oを中心とした半径1の球面Sを考え、S上の2点をA
，B
とする。
で与えられる平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短い方の長さを
とする。また3点O，A，Bを通る平面でSを切った切り口の円において、AとBを結ぶ弧のうち短い方の長さを
とする。このとき
を証明せよ。
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解答 複雑そうに見えますが、2つの円を同一平面上に描いてしまえば、明らかです。
平面
でSを切った切り口の円(右図で橙色の円)を
とします。S上の2点A，Bはいずれもz座標が
なので、
上の点です。また、
の半径は、
です。
3点O，A，Bを通る平面でSを切った切り口の円(右図で水色の円)を
とします。A，Bは当然
上の点です。また、Sの中心を通る平面で切った切り口の円なので、
の半径は1です。
右下図のように、
，
をA，Bで交差させるように同一平面上に描けば、
は明らかですが、ここでは計算してみます。
(空間座標を参照)よって、平面
とz軸との交点
をPとして、PA＝PB＝AB＝
より、∠APB＝
∴ 
(弧長の公式は、一般角を参照)
(
)より、
∴ 
(証明終)
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