京大理系数学'09年乙[1]
xyz空間でO
，A
，B
，C
，D
，E
，F
，G
を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEをs：
に内分する点をP，辺CGをt：
に内分する点をQとおく。ただし
，
とする。Dを通り、O，P，Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなs，tのみたす条件を求めよ。
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解答 2つのベクトル方程式が指定範囲に解をもつ条件を考えます。
なお、途中で2つのベクトルの双方に垂直なベクトルを求める必要がありますが、これについては外積も参照してください。
より、
より、
，
双方に垂直なベクトルを
とすると、
∴ 
よって、Dを通り、O，P，Qを含む平面に垂直な直線のベクトル方程式：
･･･①
より、直線ACのベクトル方程式：
･･･②
①と②が交点をもつとして、それぞれのx成分，y成分，z成分を等しいとおくと、
⑤より、
④より、
③より、
∴ 
･･･⑥
より、
･･･⑦
⑥より、
ですが、
，
より、
，
∴ 
･･･⑧
⑦かつ⑧より、
･･･⑨
⑥かつ⑨が満たされれば、③，④，⑤が
を満たす解をもち、直線①と線分②が交点をもちます。
求める条件は、
，
......[答]
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･･･③
･･･④
･･･⑤
