京大理系数学'09年乙[5]
xy平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式
(
)により表される曲線をCとする。Cとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。
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解答 単なる微積の計算問題です。この問題は落とせません。
曲線Cは右図のような形をしています。
曲線C上の点の座標は、xy座標系で、
･･･①
･･･②
より、θ が0からπまで動くと、
は1から
まで動き、xは3から
まで単調に減少します。
従って、求める体積Vは、
で与えられます。①を用いて、xの積分をθ の積分に変える(置換積分を参照)と、①より、
，x：
のとき、θ：
②より、
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(偶数乗のところは消える)
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