京大理系数学'09年乙[6]
aとbを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数
，
を
をみたすように定めるとき、次の(1)，(2)を示せ。ただし
が無理数であることは証明なしに用いてよい。
(2) すべてのnに対して、
は奇数であり、
と
は互いに素である。
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解答 (2)は、単純な数学的帰納法でやろうとしてもうまく行きません。ここでは、連立漸化式に従う数列が3項間漸化式にも従うことを利用し、前2つを仮定して次を導く形の数学的帰納法を考えることにします。なお、整数を参照してください。
まず、A，B，C，Dが有理数であるとき、
であれば、
かつ 
において、
と仮定すると、
となって無理数
が有理数に等しくなる、という不合理を生じるので、
よって、(＊)が成り立ちます。
(1) 
よって、
，
は整数なので、(＊)より、
，
となります。ここで、
は奇数、
は偶数なので、
は奇数です。
と
が公約数d (
)をもつとすると、p，qを正の整数として、 
･･･①
･･･②とおくことができます。また、
は奇数なのでdは奇数です。
②より
，これを①×aに代入して、 これより、dはaの約数です。また、①より、
右辺は、奇数dの倍数でbはdの倍数になり、dはa，bの公約数になります。題意より、a，bは1以外の公約数をもたないので、
に限られ、
，
は互いに素です。
(2) まず、(1)に習って普通に数学的帰納法でできないか考えてみます。
のとき、
が奇数であって、
，
が互いに素であると仮定します。
，
は整数なので、
，
となります。ここで、
は奇数で
は偶数なので
も奇数です。
と
が公約数d (
)をもつとすると、dは奇数です。p，qを整数として、 
･･･③
･･･④とおくことができます。
③×a－④×
より、 ④×a－③×bより、
これらより、
，
は公約数dをもちます。
，
は仮定により互いに素なので、dは
の約数 ･･･⑤ ということになりますが、これだけでは条件不足で、
に限る、ということが言えません。 そこで(1)の意味を考えてみます。(1)では、
の場合を示したわけで、
の場合と
の場合については既に示せているわけです。
一方で、③，④により、数列
，
の連立漸化式が与えられますが、連立漸化式に従う数列は、3項間漸化式：
(r，sは定数)にも従います。3項間漸化式を利用すると、
の場合、
の場合を仮定して、
の場合を導く、という形の数学的帰納法が利用できそうです。
まず、3項間漸化式を作ります。
整数
，
が、 
･･･⑥によって定まるとき、上記にも書きましたが、
より、
という連立漸化式が得られます。このとき、
と仮定すると、 となるので、
となり、すべての自然数nについて、 
･･･⑦が成り立ちます。
，
とおくと、
⑥＋⑦より、
･･･⑧
⑥－⑦より、
･･･⑨3項間漸化式：
の一般項
は、特性方程式：
が異なる2実数解α，βをもつとき(
，
)、 の形に表せることを思い出すと、
，
の場合には、 より、α，β は、2次方程式：
の2解なので、3項間漸化式は、 
･･･⑩
･･･⑪という形になりそうです。⑧を用いて、
となり、⑩が成り立ちます。⑪も⑨を用いて同様に示せます。
今度は、数学的帰納法の枠組みを変えて、
のときは、
，
で
は奇数であり、
と
は互いに素、また、(1)より、
は奇数であり、
と
は互いに素です。
のとき、
，
は奇数であり、
，
が互いに素、
と
が互いに素だと仮定します。
･･･⑫
･･･⑬⑫において、
は奇数、
は偶数なので
は奇数です。また、
，
の公約数をdとすると、dは奇数であって、上記の⑤のときと同様にして、
⑫×a－⑬×
より、
⑬×a－⑫×bより、
⑤でも見たように、dは、
，
の公約数で、
，
が互いに素であるという仮定により、dは
の約数となり、rを整数として、 
･･･⑭とおけます。
⑩によると、
この右辺はdの倍数なので、
はdの倍数です。
同様に⑪より、
もdの倍数です。
仮定により、
と
は互いに素であり、dは
の約数であって奇数なので、dはaの約数となり、sを整数として、 とおけます。⑭に代入すると、
これより、dは、奇数なのでbの約数で、a，bの公約数となり、
に限られます。
つまり、
のときも、
は奇数であって、
，
は互いに素です。 よって、数学的帰納法により、すべてのnに対して、
は奇数であり、
と
は互いに素です。
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は奇数であり、
と
は互いに素である。
のときは、
，
で、
は奇数であり、
と
は互いに素です。
(∵ α，β は、2次方程式：
の2解)
