京大理系数学'09年乙[6]
aとbを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数
,
を
をみたすように定めるとき、次の(1),(2)を示せ。ただし
が無理数であることは証明なしに用いてよい。
(2) すべてのnに対して、
は奇数であり、
と
は互いに素である。
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解答 (2)は、単純な数学的帰納法でやろうとしてもうまく行きません。ここでは、連立漸化式に従う数列が3項間漸化式にも従うことを利用し、前2つを仮定して次を導く形の数学的帰納法を考えることにします。なお、整数を参照してください。
まず、A,B,C,Dが有理数であるとき、
であれば、
かつ 
であること ・・・(*) を示しておきます。
において、
と仮定すると、
となって無理数
が有理数に等しくなる、という不合理を生じるので、
よって、(*)が成り立ちます。
(1) 
よって、
,
は整数なので、(*)より、
,
となります。ここで、
は奇数、
は偶数なので、
は奇数です。
と
が公約数d (
)をもつとすると、p,qを正の整数として、
・・・@
・・・Aとおくことができます。また、
は奇数なのでdは奇数です。
Aより
,これを@×aに代入して、 これより、dはaの約数です。また、@より、
右辺は、奇数dの倍数でbはdの倍数になり、dはa,bの公約数になります。題意より、a,bは1以外の公約数をもたないので、
に限られ、
,
は互いに素です。
(2) まず、(1)に習って普通に数学的帰納法でできないか考えてみます。
のとき、
が奇数であって、
,
が互いに素であると仮定します。
,
は整数なので、
,
となります。ここで、
は奇数で
は偶数なので
も奇数です。
と
が公約数d (
)をもつとすると、dは奇数です。p,qを整数として、
・・・B
・・・Cとおくことができます。
B×a−C×
より、 C×a−B×bより、
これらより、
,
は公約数dをもちます。
,
は仮定により互いに素なので、dは
の約数 ・・・D ということになりますが、これだけでは条件不足で、
に限る、ということが言えません。 そこで(1)の意味を考えてみます。(1)では、
の場合を示したわけで、
の場合と
の場合については既に示せているわけです。
一方で、B,Cにより、数列
,
の連立漸化式が与えられますが、連立漸化式に従う数列は、3項間漸化式:
(r,sは定数)にも従います。3項間漸化式を利用すると、
の場合、
の場合を仮定して、
の場合を導く、という形の数学的帰納法が利用できそうです。
まず、3項間漸化式を作ります。
整数
,
が、
・・・Eによって定まるとき、上記にも書きましたが、
より、
という連立漸化式が得られます。このとき、
と仮定すると、 となるので、
となり、すべての自然数nについて、
・・・Fが成り立ちます。
,
とおくと、
E+Fより、
・・・G
E−Fより、
・・・H3項間漸化式:
の一般項
は、特性方程式:
が異なる2実数解α,βをもつとき(
,
)、 の形に表せることを思い出すと、
,
の場合には、 より、α,β は、2次方程式:
の2解なので、3項間漸化式は、
・・・I
・・・Jという形になりそうです。Gを用いて、
となり、Iが成り立ちます。JもHを用いて同様に示せます。
今度は、数学的帰納法の枠組みを変えて、
のときは、
,
で
は奇数であり、
と
は互いに素、また、(1)より、
は奇数であり、
と
は互いに素です。
のとき、
,
は奇数であり、
,
が互いに素、
と
が互いに素だと仮定します。
・・・K
・・・LKにおいて、
は奇数、
は偶数なので
は奇数です。また、
,
の公約数をdとすると、dは奇数であって、上記のDのときと同様にして、
K×a−L×
より、

L×a−K×bより、

Dでも見たように、dは、
,
の公約数で、
,
が互いに素であるという仮定により、dは
の約数となり、rを整数として、
・・・Mとおけます。
Iによると、
この右辺はdの倍数なので、
はdの倍数です。
同様にJより、
もdの倍数です。
仮定により、
と
は互いに素であり、dは
の約数であって奇数なので、dはaの約数となり、sを整数として、 とおけます。Mに代入すると、
これより、dは、奇数なのでbの約数で、a,bの公約数となり、
に限られます。
つまり、
のときも、
は奇数であって、
,
は互いに素です。 よって、数学的帰納法により、すべてのnに対して、
は奇数であり、
と
は互いに素です。
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