京大理系数学'10年乙[4]
とする。3辺の長さが
，a，bである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。
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解答 正弦定理と余弦定理を組み合わせただけの問題ですが、「鋭角三角形」という指定に注意が必要です。
長さa，b，
の辺と向かい合っている角をA，B，Cとすると、正弦定理より、
∴ 
，
，
･･･①
鋭角三角形なので、
，
より、
，
同様に、
①と
より
は満たされていますが、Bについても、
より、
･･･②
この左辺を
とおくと、
より、
これよりbの2次方程式
は
に1解、
に1解を持ちます(2次方程式の解の配置を参照)が、②より、鋭角三角形になるためには、
となる解、即ち、大きい方の解だけが許されます。
......[答]
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