京大理系数学'11年[1]
(1) 箱の中に、1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をXとする。これらのカードを箱に戻して、再び2枚のカードを同時に選び、小さい方の数をYとする。
である確率を求めよ。 (2) 定積分
を求めよ。
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解答 確率と積分計算の基本問題です。
(1) 2枚選んだうちの小さい方が9ということはあり得ないので、
ということは起こり得ません。 
(
)のとき、Xを選ぶときもYを選ぶときも、小さい方がnであれば、大きい方は、
以上9以下の
通りあります。9枚のカードから2枚のカードを選ぶ選び方は、
通りあります。
この中で小さい方がnになる確率は、
になる確率は、
求める確率は、
......[答]
(2) 
第1項の積分は、
，
とおくことにより、
，
，x：
のとき、t：
(置換積分を参照) 第2項の積分は、
とおくと、
は、原点を中心とする半径
の半円とx軸、直線
，直線
で囲まれる部分の面積で、半径
の円の面積の
と、直角を挟む2辺が
である直角二等辺三角形の面積の和に等しく、よって、
......[答]
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