京大理系数学'20年前期[4]
正の整数aに対して、
(b,cは整数でcは3で割り切れない) の形に書いたとき、
と定める。例えば、
である。
m,nは整数で、次の条件を満たすとする。
(i) 
(ii) 
(iii) nは3で割り切れない。
このような
について
とするとき、
の最大値を求めよ。また、
の最大値を与えるような
をすべて求めよ。
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解答
はaを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
は
を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
整数問題は、巧妙な解法が思い浮かべばそれで進めればよいのですが、有効な方法が思いつかないときは、シラミつぶしで行くことになります。とは言え、本問では
のすべての場合が、
通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。
m,nにいくつか数値代入してみると、
なので、
,
なので、
とわかります。
の最大値は少なくとも2以上で、このとき
は9で割り切れます。 ・・・@
mを3で割り商がk (
),余りが
として、つまり、
・・・A として、
を9で割った余りが
であることと@とから、
を9で割った余りを考えることにします。
(1)
のとき、
(mod. 9),
のとき、
(mod. 9),
のとき、
(mod. 9) (2)
とおくと、問題文の条件(iii)より、
(mod. 9)のとき、
(mod. 9),
(mod. 9)のとき、
(mod. 9),
(mod. 9)のとき、
(mod. 9),
のとき、
(mod. 9),
(mod. 9)のとき、
(mod. 9),
のとき、
(mod. 9) (1)と(2)の組み合わせで、
が9で割り切れる可能性があるのは、
かつ
(mod. 9)の場合だけです。
以下、
とします。このときAより
となります。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、
の場合です。
のとき、
,
,
は3で割り切れません。このとき、
のとき、
,
・・・B
の中で、
が3で割り切れるのは、
(つまり、
)のときで、Bより、
,
,
,
,
,
,
,
のとき、
,
,
は3で割り切れません。
のとき、
,
,
は3で割り切れません。
以上より、
の最大値は4,そのときの
......[答]
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