京大理系数学'20年前期[4]
正の整数aに対して、
(b，cは整数でcは3で割り切れない)
と定める。例えば、
である。
m，nは整数で、次の条件を満たすとする。
(i) 
(ii) 
(iii) nは3で割り切れない。
このような
について
とするとき、
の最大値を求めよ。また、
の最大値を与えるような
をすべて求めよ。
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解答 
はaを素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
は
を素因数分解したときに3がいくつ入っているかを示します。
整数問題は、巧妙な解法が思い浮かべばそれで進めればよいのですが、有効な方法が思いつかないときは、シラミつぶしで行くことになります。とは言え、本問では
のすべての場合が、
通りもあるので、全部を調べるわけには行きません。調べる場合の数を減らす工夫として、剰余を考える方法があります。
m，nにいくつか数値代入してみると、
なので、
，
なので、
とわかります。
の最大値は少なくとも2以上で、このとき
は9で割り切れます。 ･･･①
mを3で割り商がk (
)，余りが
として、つまり、
･･･② として、
を9で割った余りが
であることと①とから、
を9で割った余りを考えることにします。
(1) 
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9) (2) 
とおくと、問題文の条件(iii)より、 
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)，
(mod. 9)のとき、
(mod. 9)，
のとき、
(mod. 9)
が9で割り切れる可能性があるのは、
かつ
(mod. 9)の場合だけです。
以下、
とします。このとき②より 
となります。
の範囲では、
(mod. 9)となるのは、
の場合です。
のとき、
，
， 
は3で割り切れません。このとき、
のとき、
，
･･･③
の中で、
が3で割り切れるのは、
(つまり、
)のときで、③より、
，
，
，
，
，
，
，
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
のとき、
，
，
は3で割り切れません。
以上より、
の最大値は4，そのときの
......[答]
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