京大理系数学'21年前期[5]
xy平面において、2点B
，C
に対し、点Aは次の条件(＊)を満たすとする。
(＊) 
かつ点Aのy座標は正。
次の各問に答えよ。
(1) △ABCの外心の座標を求めよ。
(2) 点Aが条件(＊)を満たしながら動くとき、△ABCの垂心の軌跡を求めよ。
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解答 京大は平面図形の問題が多いので、平面図形として解いてみます。なお、三角形の五心を参照してください。
(1) △ABCの外心Pは、△ABCの外接円の中心なので、中心角
は円周角
の2倍で、
(2) Bから対辺CAに垂線BKを下ろし、Cから対辺ABに垂線CLを下ろし、Aから対辺BCに垂線AMを下ろし、直線BKと直線CLと直線AMの交点をHとすると、Hは△ABCの垂心です。
(
)よって、円周角の定理の逆より、Hの軌跡は円弧になります。
なので、Hは原点Oにも来ます。
を円弧とする円は、△BOCの外接円です。外接円の半径Rは、正弦定理：
より
、円の対称性より、この円の中心は辺BCの垂直二等分線(y軸)上にあり、原点Oとの距離が2となる点
です。
ところで、Aが領域
の端点
に来るとき、
より
，また、
//BCより
(錯角)
から直線BCに垂線
を下ろし、Bから直線
に垂線BKを下ろし、直線
と直線BKとの交点(△
の垂心)を
とします。
またCから直線
(x軸)に垂線CJを下ろすと、 よって、△
≡△
(BD共通で、直角三角形の1辺と2角が等しい) ∴ 
これより、
の座標は
全く同様に、Aが領域
の端点
に来るとき、垂心Hは
に来ます。垂心Hの軌跡となる円弧は、
，
を結ぶ直線
よりも上側にある円周の部分です。
以上より、垂心Hの軌跡は、
を中心とする半径2の円の
の部分 ......[答]
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の部分にあることから、Pと辺BCとの距離
より、外心Pの座標は、
......[答] つまり、外心Pは原点Oに一致します。
，
，
