京大理系数学'21年前期[5]

xy平面において、2BCに対し、点Aは次の条件()を満たすとする。
() かつ点Ay座標は正。
次の各問に答えよ。

(1) ABCの外心の座標を求めよ。
(2) Aが条件()を満たしながら動くとき、△ABCの垂心の軌跡を求めよ。

解答 京大は平面図形の問題が多いので、平面図形として解いてみます。なお、三角形の五心を参照してください。

(1) ABCの外心Pは、△ABCの外接円の中心なので、中心角は円周角2倍で、
また、外心Pは、辺BCの垂直二等分線(y)上にあり、Aの部分にあることから、Pと辺BCとの距離より、外心Pの座標は、 ......[] つまり、外心Pは原点Oに一致します。
(2) Bから対辺CAに垂線BKを下ろし、Cから対辺ABに垂線CLを下ろし、Aから対辺BCに垂線AMを下ろし、直線BKと直線CLと直線AMの交点をHとすると、Hは△ABCの垂心です。

()
よって、円周角の定理の逆より、Hの軌跡は円弧になります。なので、Hは原点Oにも来ます。を円弧とする円は、△BOCの外接円です。外接円の半径Rは、正弦定理より、円の対称性より、この円の中心は辺BCの垂直二等分線(y)上にあり、原点Oとの距離が2となる点です。
ところで、
Aが領域の端点に来るとき、より,また、//BCより (錯角)
から直線BCに垂線を下ろし、Bから直線に垂線BKを下ろし、直線と直線BKとの交点(の垂心)とします。
また
Cから直線(x)に垂線CJを下ろすと、


よって、△≡△ (BD共通で、直角三角形の1辺と2角が等しい) ∴
これより、の座標は
全く同様に、
Aが領域の端点に来るとき、垂心Hに来ます。垂心Hの軌跡となる円弧は、を結ぶ直線よりも上側にある円周の部分です。
以上より、垂心
Hの軌跡は、を中心とする半径2の円のの部分 ......[]



   京大理系数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元