京大理系数学'22年前期[3]
nを自然数とする。3つの整数
，
，
の最大公約数
を求めよ。
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解答 
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
となるので、規則性があることに見当がつくと思います。
が約数mを持つとすると、kを自然数として、
と表せます。このとき、
よって、
も約数mをもつとすると、mは6の約数です。
よって、
のいずれかです。
のいずれかのとき、
，
ともmの倍数ですが、
より、
のいずれかであれば、
もmの倍数です。つまり、
，
，
の最大公約数は、1，2，3，6のいずれかに限られます。
(s：整数、
)とおくと、
これは、
が6の倍数＋(
)という形に表せる(mod記号を使うと、
(mod. 6)のとき
(mod. 6)，剰余類を参照)であることを意味しています。
のとき、
なので、
は2の倍数ですが3，6の倍数にはなりません。このとき、
(
(mod. 6))，
(
(mod. 6))も2の倍数で、
のとき、
なので、
は奇数であって3の倍数ですが6の倍数にはなりません。このとき、
(
(mod. 6))，
(
(mod. 6))も3の倍数で、
のとき、
なので、
は6の倍数です。
(
(mod. 6))，
(
(mod. 6))も6の倍数で、
のとき、
なので、
は奇数であって、3の倍数にはなりません。このときは、
以上より、nが6で割り切れるとき
，nが6で割って余りが1か5のとき
，nが6で割って余りが2か4のとき
，nが6で割って余りが3のとき
......[答]
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