京大理系数学
'22
年前期
[3]
n
を自然数とする。
3
つの整数
,
,
の最大公約数
を求めよ。
解答
くらいで、
を調べれば見当がつくと思います。
が約数
m
を持つとすると、
k
を自然数として、
と表せます。
このとき、
よって、
も約数
m
をもつとすると、
m
は
6
の約数です。
よって、
のいずれかです。
のいずれかのとき、
,
とも
m
の倍数ですが、
より、
のいずれかであれば、
も
m
の倍数です。つまり、
,
,
の最大公約数は、
1
,
2
,
3
,
6
のいずれかに限られます。
(
s
:整数、
)
とおくと、
これは、
が
6
の倍数+
(
)
という形に表せる
(mod
記号を使うと、
(mod. 6))
ことを意味しています。
のとき、
なので、
は
2
の倍数ですが
3
,
6
の倍数にはなりません。このとき、
,
も
2
の倍数で、
のとき、
なので、
は奇数であって
3
の倍数ですが
6
の倍数にはなりません。このとき、
,
も
3
の倍数で、
のとき、
なので、
は
6
の倍数です。
,
も
6
の倍数で、
のとき、
なので、
は奇数であって、
3
の倍数にはなりません。このときは、
以上より、
n
が
6
で割り切れるとき
,
n
が
6
で割って余りが
1
か
5
のとき
,
n
が
6
で割って余りが
2
か
4
のとき
,
n
が
6
で割って余りが
3
のとき
......[
答
]
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