京都大学理系2022年数学入試問題

[1]
 であることを示せ。ただし、であることは用いてよい。
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[2] 箱の中に1からnまでの番号がついたn枚の札がある。ただしとし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順にXYZとする。このとき、かつとなる確率を求めよ。
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[3] nを自然数とする。3つの整数の最大公約数を求めよ。
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[4] 四面体OABC
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
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[5] 曲線C ()x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする。とし、C上の点Qと原点O,およびPRを頂点にもつ長方形OPQRの面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) Sを求めよ。
(2) は最大値をただ1つのt でとることを示せ。そのときのt αとすると、であることを示せ。
(3) を示せ。
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[6] 数列を次の式
 
()
 
()
により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。
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