京大理系数学'22年前期[4]
四面体OABCが
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 
を考えるときに、空間ベクトルとして考えると、内積計算が面倒なので、平面ベクトルで計算するように工夫します。そこで(1)を利用することになります。
(1) △ABCと△OBCにおいて、
，BC共通、
3辺相等より、△ABC≡△OBC，∴ ∠ABC＝∠OBCよって、∠ABP＝∠OBP，また、AB＝OB，BP共通、2辺夾角相等より、△ABP≡△OBP ∴ AP＝OPよって、△POAは二等辺三角形PGの延長とOAとの交点をMとすると、Gは△OAPの重心なので、MはOAの中点です。よって、∠PMO＝∠PMA＝90°，即ち、
(2) 
より
の最小値を考えます。
と三平方の定理より、 
･･･①Pは辺BC上の点なので、
となるt を用いて、 
･･･② (内積を参照)
を求めるために、
を考えます。つまり、
∴ 
②より、 ①より、
これは、
のとき最小値4をとります(2次関数の最大・最小を参照)。
の最小値は2，PGの最小値は
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
，
，
