京大理系数学'22年前期[4]
四面体OABCが
，，
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。


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解答　を考えるときに、空間ベクトルとして考えると、内積計算が面倒なので、平面ベクトルで計算するように工夫します。そこで(1)を利用することになります。

(1) △ABCと△OBCにおいて、，BC共通、
3辺相等より、△ABC≡△OBC，∴ ∠ABC＝∠OBC
よって、∠ABP＝∠OBP，また、AB＝OB，BP共通、2辺夾角相等より、△ABP≡△OBP　∴ AP＝OP
よって、△POAは二等辺三角形
PGの延長とOAとの交点をMとすると、Gは△OAPの重心なので、MはOAの中点です。よって、∠PMO＝∠PMA＝90°，即ち、

(2) よりの最小値を考えます。と三平方の定理より、
　･･･①
Pは辺BC上の点なので、となるt を用いて、
とおけます(平面ベクトルの応用を参照)。
　･･･②　(内積を参照)
を求めるために、を考えます。
つまり、　∴
②より、
①より、
これは、のとき最小値4をとります(2次関数の最大・最小を参照)。の最小値は2，PGの最小値は ......[答]



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