京大理系数学'22年前期[4]

四面体OABC
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。

解答 を考えるときに、空間ベクトルとして考えると、内積計算が面倒なので、何とか平面ベクトルで計算するように工夫します。そこで(1)を利用します。

(1) ABCと△OBCにおいて、BC共通、
3辺相等より、△ABC≡△OBC,∴ ABC=∠OBC
よって、∠ABP=∠OBP,また、ABOBBP共通、2辺夾角相等より、△ABP≡△OBP ∴ APOP
よって、△POAは二等辺三角形
PGの延長とOAとの交点をMとすると、Gは△POAの重心なので、MOAの中点です。よって、∠PMO=∠PMA90°,即ち、

(2) よりの最小値を考えます。と三平方の定理より、
 ・・・@
Pは辺BC上の点なので、となるt を用いて、
とおけます。
 ・・・A
を求めるために、を考えます。
つまり、 ∴
Aより、
@より、
これは、のとき最小値4をとります。の最小値は2PGの最小値は ......[]


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