数列，を次の式
，　

()

，
，，　

()

により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。

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に数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。

については、とすることにより、，，
とすることにより、，，
とすることにより、，，
については、






これで、，，，，，，，･･･と進めていくと、

項ずつ繰り返されていることがわかります。の形からしても、が

として、のときは3の倍数、のときは3で割ると1余る数

(�T) のとき、，は3の倍数、は3で割ると1余る数なので、(＊)は成立します。

(�U) のとき、(＊)が成立すると仮定すると、，は3の倍数、は3で割ると1余る数です。

与漸化式より、　･･･�@
は3で割ると1余る数なので、pを整数として、とおくと、

　･･･�A

よって、は3で割ると1余る数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�B

は3の倍数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�C

は3の倍数なのでは3で割ると1余る数です。
よって、，は3の倍数、は3で割ると1余る数で、のときにも(＊)は成立します。

より、について、

が成立します。

また、に関する与式より、

　･･･�D
　･･･�E
　･･･�F

�Bにおいてとすることにより、　･･･�G
�Cにおいてとすることにより、　･･･�H
�Aより、　･･･�I
�D，�Gより、　･･･�J
�E，�Hより、　･･･�K
�F，�Iより、　･･･�L
�Jで，�Kで，�Lでとすることにより、�J，�K，�Lをまとめ、

　･･･�M

，，
，，

......[答]

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