京大理系数学'22年前期[6]

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数列，を次の式
，　()，
，，　()
により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。

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解答　素直にnに数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。

については、とすることにより、，，
とすることにより、，，
とすることにより、，，
については、






これで、，，，，，，，･･･と進めていくと、3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数，･･･と、3項ずつ繰り返されていることがわかります。の形からしても、が3の倍数(整数を参照)かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実(＊)：

として、のときは3の倍数、のときは3で割ると1余る数

を数学的帰納法で示します。

(�T) のとき、，は3の倍数、は3で割ると1余る数なので、(＊)は成立します。

(�U) のとき、(＊)が成立すると仮定すると、，は3の倍数、は3で割ると1余る数です。

与漸化式より、　･･･�@
は3で割ると1余る数なので、pを整数として、とおくと、

よって、�@より、

　･･･�A

よって、は3で割ると1余る数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�B

は3の倍数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�C

は3の倍数なのでは3で割ると1余る数です。
よって、，は3の倍数、は3で割ると1余る数で、のときにも(＊)は成立します。

(�T)，(�U)より、について、(＊)が成立します。

また、に関する与式より、

　･･･�D
　･･･�E
　･･･�F

�Bにおいてとすることにより、　･･･�G
�Cにおいてとすることにより、　･･･�H
�Aより、　･･･�I
�D，�Gより、　･･･�J
�E，�Hより、　･･･�K
�F，�Iより、　･･･�L
�Jで，�Kで，�Lでとすることにより、�J，�K，�Lをまとめ、nをすべての自然数として、

　･･･�M

については、

，，
，，

となっているわけですが、�Mにより、階差数列の公式を用いて、

......[答]

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