京大理系数学
'22
年前期
[6]
数列
,
を次の式
,
(
)
,
,
,
(
)
により定める。このとき、数列
の一般項を求めよ。
解答
素直に
n
に数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。
については、
とすることにより、
,
,
とすることにより、
,
,
,
これで、
,
,
,
,
,
,
,・・・と進めていくと、
3
の倍数、
3
の倍数、
3
の倍数+
1
,
3
の倍数、
3
の倍数、
3
の倍数+
1
,
3
の倍数,・・・と、
3
項ずつ繰り返されていることがわかります。
の形からしても、
が
3
の倍数かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実
(
*
)
:
として、
のとき
は
3
の倍数、
のとき
は
3
で割ると
1
余る数
を数学的帰納法で示します。
(
T
)
のとき、
,
は
3
の倍数、
は
3
で割ると
1
余る数なので、
(
*
)
は成立します。
(
U
)
のとき、
(
*
)
が成立すると仮定すると、
,
は
3
の倍数、
は
3
で割ると
1
余る数です。
与漸化式より、
は
3
で割ると
1
余る数なので、
より、
・・・@
よって、
は
3
で割ると
1
余る数なので
は
3
の倍数です。
与漸化式より、
は
3
の倍数なので、
より、
・・・A
は
3
の倍数なので
は
3
の倍数です。
与漸化式より、
は
3
の倍数なので、
より、
・・・B
は
3
の倍数なので
は
3
で割ると
1
余る数です。
よって、
,
は
3
の倍数、
は
3
で割ると
1
余る数で、
のときにも
(
*
)
は成立します。
(
T
)
,
(
U
)
より、
について、
(
*
)
が成立します。
また、
に関する与漸化式より、
・・・C
・・・D
・・・E
Aにおいて
とすることにより、
・・・F
Bにおいて
とすることにより、
・・・G
@より、
・・・H
C,Fより、
・・・I
D,Gより、
・・・J
E,Hより、
・・・K
Iで
,Jで
,Kで
とすることにより、I,J,Kをまとめ、
n
をすべての自然数として、
・・・L
については、
,
,
,
,
となっているわけですが、Lにより、階差数列の公式を用いて、
......[
答
]
京大理系数学
TOP
数学
TOP
TOP
ページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©
2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾
随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾
苦学楽学塾
(ご案内は
こちら
)ご入会は、
まず、
こちらまでメール
をお送りください。
雑誌「
大学への数学
」出版元