京大理系数学'22年前期[6]

数列を次の式
 
()
 
()
により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。

解答 素直にnに数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。

については、とすることにより、
とすることにより、
とすることにより、
については、






これで、,・・・と進めていくと、
3の倍数、3の倍数、3の倍数+13の倍数、3の倍数、3の倍数+13の倍数,・・・と、3項ずつ繰り返されていることがわかります。の形からしても、3の倍数(整数を参照)かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実
()
として、のとき3の倍数、のとき3で割ると1余る数
数学的帰納法で示します。
(T) のとき、3の倍数、3で割ると1余る数なので、()は成立します。
(U) のとき、()が成立すると仮定すると、3の倍数、3で割ると1余る数です。
漸化式より、 ・・・@
3で割ると1余る数なので、pを整数として、とおくと、
よって、@より、
 ・・・A
よって、3で割ると1余る数なので3の倍数です。
与漸化式より、
3の倍数なので、より、
 ・・・B
3の倍数なので3の倍数です。
与漸化式より、
3の倍数なので、より、
 ・・・C
3の倍数なので3で割ると1余る数です。
よって、
3の倍数、3で割ると1余る数で、のときにも()は成立します。
(T)(U)より、について、()が成立します。

また、に関する与式より、


 ・・・D
 ・・・E
 ・・・F
Bにおいてとすることにより、 ・・・G
Cにおいてとすることにより、 ・・・H
Aより、 ・・・I
D,Gより、 ・・・J
E,Hより、 ・・・K
F,Iより、 ・・・L
Jで,Kで,Lでとすることにより、J,K,Lをまとめ、
nをすべての自然数として、
 ・・・M
については、

となっているわけですが、Mにより、階差数列の公式を用いて、
......[]


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