京大理系数学'22年前期[6]
数列
,
を次の式
,
(
),
,
,
(
)
により定める。このとき、数列
の一般項を求めよ。
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解答 素直にnに数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。
については、
とすることにより、
,
,![](kum22f6.files/Eqn015.gif)
とすることにより、
,
,![](kum22f6.files/Eqn019.gif)
とすることにより、
,
,![](kum22f6.files/Eqn023.gif)
については、
![](kum22f6.files/Eqn025.gif)
![](kum22f6.files/Eqn026.gif)
![](kum22f6.files/Eqn027.gif)
![](kum22f6.files/Eqn028.gif)
![](kum22f6.files/Eqn029.gif)
![](kum22f6.files/Eqn030.gif)
これで、
,
,
,
,
,
,
,・・・と進めていくと、3の倍数、3の倍数、3の倍数+1,3の倍数、3の倍数、3の倍数+1,3の倍数,・・・と、3項ずつ繰り返されていることがわかります。
の形からしても、
が3の倍数(整数を参照)かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実(*):
として、
のとき
は3の倍数、
のとき
は3で割ると1余る数 を数学的帰納法で示します。
(T)
のとき、
,
は3の倍数、
は3で割ると1余る数なので、(*)は成立します。 (U)
のとき、(*)が成立すると仮定すると、
,
は3の倍数、
は3で割ると1余る数です。 与漸化式より、
・・・@
は3で割ると1余る数なので、pを整数として、
とおくと、 よって、@より、
・・・Aよって、
は3で割ると1余る数なので
は3の倍数です。
与漸化式より、![](kum22f6.files/Eqn060.gif)
は3の倍数なので、
より、
・・・B
は3の倍数なので
は3の倍数です。
与漸化式より、![](kum22f6.files/Eqn066.gif)
は3の倍数なので、
より、
・・・C
は3の倍数なので
は3で割ると1余る数です。
よって、
,
は3の倍数、
は3で割ると1余る数で、
のときにも(*)は成立します。 (T),(U)より、
について、(*)が成立します。
また、
に関する与式より、
Bにおいて
とすることにより、
・・・G
Cにおいて
とすることにより、
・・・H
Aより、
・・・I
D,Gより、
・・・J
E,Hより、
・・・K
F,Iより、
・・・L
Jで
,Kで
,Lで
とすることにより、J,K,Lをまとめ、nをすべての自然数として、
・・・M
については、
となっているわけですが、Mにより、階差数列の公式を用いて、
......[答]
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