京大理系数学'22年前期[6]

---

数列，を次の式
，　()，
，，　()
により定める。このとき、数列の一般項を求めよ。

---

解答　素直にnに数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。

については、とすることにより、，，
とすることにより、，，，






これで、，，，，，，，･･･と進めていくと、3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数，･･･と、3項ずつ繰り返されていることがわかります。の形からしても、が3の倍数かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実(＊)：

として、のときは3の倍数、のときは3で割ると1余る数

を数学的帰納法で示します。

(�T) のとき、，は3の倍数、は3で割ると1余る数なので、(＊)は成立します。

(�U) のとき、(＊)が成立すると仮定すると、，は3の倍数、は3で割ると1余る数です。

与漸化式より、
は3で割ると1余る数なので、より、

　･･･�@

よって、は3で割ると1余る数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�A

は3の倍数なのでは3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、より、

　･･･�B

は3の倍数なのでは3で割ると1余る数です。
よって、，は3の倍数、は3で割ると1余る数で、のときにも(＊)は成立します。

(�T)，(�U)より、について、(＊)が成立します。

また、に関する与漸化式より、

　･･･�C
　･･･�D
　･･･�E

�Aにおいてとすることにより、　･･･�F
�Bにおいてとすることにより、　･･･�G
�@より、　･･･�H
�C，�Fより、　･･･�I
�D，�Gより、　･･･�J
�E，�Hより、　･･･�K
�Iで，�Jで，�Kでとすることにより、�I，�J，�Kをまとめ、nをすべての自然数として、

　･･･�L

については、

，，
，，

となっているわけですが、�Lにより、階差数列の公式を用いて、

......[答]

---

　　　京大理系数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元