京大理系数学'22年前期[6]
数列
，
を次の式
，
(
)，
，
，
(
)
により定める。このとき、数列
の一般項を求めよ。
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解答 素直にnに数値代入していけば見えてきますが、答案にまとめるのはなかなか大変です。
については、
とすることにより、
，
，
とすることにより、
，
，
とすることにより、
，
，
については、
これで、
，
，
，
，
，
，
，･･･と進めていくと、3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数、3の倍数、3の倍数＋1，3の倍数，･･･と、3項ずつ繰り返されていることがわかります。
の形からしても、
が3の倍数(整数を参照)かどうかがポイントであることがわかります。
まず、この事実(＊)：
として、
のとき
は3の倍数、
のとき
は3で割ると1余る数
(Ⅰ) 
のとき、
，
は3の倍数、
は3で割ると1余る数なので、(＊)は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、(＊)が成立すると仮定すると、
，
は3の倍数、
は3で割ると1余る数です。 与漸化式より、
･･･①
は3で割ると1余る数なので、pを整数として、
とおくと、 よって、①より、
･･･②よって、
は3で割ると1余る数なので
は3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、
より、 
･･･③
は3の倍数なので
は3の倍数です。
与漸化式より、
は3の倍数なので、
より、
･･･④
は3の倍数なので
は3で割ると1余る数です。
よって、
，
は3の倍数、
は3で割ると1余る数で、
のときにも(＊)は成立します。
について、(＊)が成立します。
また、
に関する与式より、
③において
とすることにより、
･･･⑧
④において
とすることにより、
･･･⑨
②より、
･･･⑩
⑤，⑧より、
･･･⑪
⑥，⑨より、
･･･⑫
⑦，⑩より、
･･･⑬
⑪で
，⑫で
，⑬で
とすることにより、⑪，⑫，⑬をまとめ、nをすべての自然数として、
･･･⑭
については、
となっているわけですが、⑭により、階差数列の公式を用いて、
......[答]
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･･･⑤
･･･⑥
･･･⑦
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