京大理系数学'22年前期[5]
曲線C：
(
)，x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする。
とし、C上の点Q
と原点O，およびP
，R
を頂点にもつ長方形OPQRの面積を
とする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) Sを求めよ。
(2) 
は最大値をただ1つのt でとることを示せ。そのときのt をαとすると、
であることを示せ。 (3) 
を示せ。
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解答 微積分の計算問題です。
とか
といったヒントがないので、(3)は数値的に答えることにします。
......[答]
(積の微分法、合成関数の微分法、微分の公式を参照)
とすると、
においては
なので、
となりますが、t が0から
まで変化するとき、
は1から0まで単調に減少し、
は0から
まで単調に増加します。従って、
は、
の範囲にただ1つの解αを持ちます。αは、
･･･① を満たします。
において、
，
において、
よって、
の増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。 増減表より、
は最大値をただ1つのt でとることがわかります。このt がαで、
です、
①より、
で
，よって、
......[答]
(3) まず①を用いて、αがどれくらいの数なのかを調べます。
と仮定すると、
，
となり、①が成立しません(三角関数を参照)。
と仮定すると、
，
となり、①が成立しません。
と仮定すると、
，つまり、
，つまり、
，
となり、
において、
はαの減少関数、
はαの増加関数で、①が成立するαが存在します。
よって、
です。このとき、
より、
，
(2)より、
よって(1)より、
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より、
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