京大理系数学'22年前期[5]
曲線C： ()，x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする。とし、C上の点Qと原点O，およびP，Rを頂点にもつ長方形OPQRの面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) Sを求めよ。
(2) は最大値をただ1つのt でとることを示せ。そのときのt をαとすると、であることを示せ。
(3) を示せ。
解答　微積分の計算問題です。とかといったヒントがないので、(3)は数値的に答えることにします。

(1) 　(置換積分を参照)
......[答]

(2) ，より、，
　(積の微分法、合成関数の微分法、微分の公式を参照)
とすると、においてはなので、となりますが、t が0からまで変化するとき、は1から0まで単調に減少し、は0からまで単調に増加します。従って、は、の範囲にただ1つの解αを持ちます。
αは、　･･･①　を満たします。
において、，において、
よって、の増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。
t0　α　
　＋0－　
　　

増減表より、は最大値をただ1つのt でとることがわかります。このt がαで、です、
①より、で，よって、
......[答]

(3) まず①を用いて、αがどれくらいの数なのかを調べます。
と仮定すると、，
となり、①が成立しません(三角関数を参照)。
と仮定すると、，
となり、①が成立しません。
と仮定すると、，つまり、
，つまり、，となり、において、はαの減少関数、はαの増加関数で、①が成立するαが存在します。
よって、です。このとき、
より、
，
(2)より、
よって(1)より、

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