京大理系数学'22年前期[5]

曲線C ()x軸およびy軸で囲まれる図形の面積をSとする。とし、C上の点Qと原点O,およびPRを頂点にもつ長方形OPQRの面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。
(1) Sを求めよ。
(2) は最大値をただ1つのt でとることを示せ。そのときのt αとすると、であることを示せ。
(3) を示せ。

解答 微積分の計算問題です。とかといったヒントがないので、(3)は数値的に答えることにします。

(1)  (置換積分を参照)
......[]

(2) より、
 (積の微分法合成関数の微分法微分の公式を参照)
とすると、においてはなので、となりますが、t 0からまで変化するとき、1から0まで単調に減少し、0からまで単調に増加します。従って、は、の範囲にただ1つの解αを持ちます。
αは、 ・・・@ を満たします。
において、において、
よって、の増減表は以下のようになります
(関数の増減を参照)
t0 α 
 0 
  

増減表より、は最大値をただ1つのt でとることがわかります。このt αで、です、
@より、,よって、
......[]

(3) まず@を用いて、αがどれくらいの数なのかを調べます。
と仮定すると、
となり、@が成立しません
(三角関数を参照)
と仮定すると、
となり、@が成立しません。
と仮定すると、,つまり、
,つまり、となり、において、
αの減少関数、αの増加関数で、@が成立するαが存在します。
よって、です。このとき、
より、

(2)より、
よって
(1)より、


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