京大理系数学
'22
年前期
[5]
曲線
C
:
(
)
,
x
軸および
y
軸で囲まれる図形の面積を
S
とする。
とし、
C
上の点
Q
と原点
O
,および
P
,
R
を頂点にもつ長方形
OPQR
の面積を
とする。このとき、次の各問に答えよ。
(1)
S
を求めよ。
(2)
は最大値をただ
1
つの
t
でとることを示せ。そのときの
t
を
α
とすると、
であることを示せ。
(3)
を示せ。
解答
微積分の計算問題です。
とか
といったヒントがないので、
(3)
は数値的に答えることにします。
(1)
......[
答
]
(2)
,
とすると、
においては
なので、
となりますが、
t
が
0
から
まで変化するとき、
は
1
から
0
まで単調に減少し、
は
0
から
まで単調に増加します。従って、
は、
の範囲にただ
1
つの解
α
を持ちます。
α
は、
・・・@ を満たします。
において、
,
において、
よって、
の増減表は以下のようになります。
t
0
α
+
0
−
増減表より、
は最大値をただ
1
つの
t
でとることがわかります。この
t
が
α
で、
です、
@より、
で
,よって、
......[
答
]
(3)
まず@を用いて、
α
がどれくらいの数なのかを調べます。
と仮定すると、
,
となり、@が成立しません。
と仮定すると、
,
となり、@が成立しません。
と仮定すると、
,つまり、
,つまり、
,
となり、@が成立する
α
が存在します。
よって、
です。このとき、
より、
,
よって、
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