京大理系数学'22年前期[2]
箱の中に1からnまでの番号がついたn枚の札がある。ただしとし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順にX，Y，Zとする。このとき、かつとなる確率を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
解答　うまい考え方もありますが、まず正直にやってみます。

異なるn枚の札から異なる3枚X，Y，Zを選ぶ選び方は、通り(組み合わせを参照)あり、その各一通りは同様に確からしい。
その中で、かつとなるとき、
Xは、 (とすると、，となりを満たすZが存在しなくなります)の通りあります。Xを決めると、
Yは、の通りあります。Yを決めると、
Zは、の通りあります。
よって、かつとなる取り方は(Σの公式を参照)、






　･･･①
求める確率は、 ......[答]
別解．0以上の整数x，y，zについて、を満たす整数解の組の個数は、重複組み合わせの考え方によると、異なる3種類から重複を許して10個取る場合の数と考えることにより、
通り　･･･②
として求めることができます。
この問題の応用として、を満たす整数X，Yの組の数を考えてみると、，，なので、，，とおいて、
，つまり、
となる0以上の整数の組を求める問題に帰着し、上記の通り、66通りとなります。
冒頭に書いた「うまい考え方」ですが、本問では、，，，となるので、，，，とおくと、
()
となるので、②と同様に、異なる4種類から重複を許して個取る組み合わせの数、と考えて、
と、①を一気に求めることができます。
なお、本問とは離れますが、重複組み合わせが関与する確率の問題で、注意しなければならないことがあります。を満たす整数X，Yの組の中、つまり、1から12までの整数から異なる2整数を選ぶとき、，となる確率を求める際には、全事象の数は通りで、66通りは同様に確からしく、確率はとなります。
ところが、10個の同じ球を袋A，袋B，袋Cに入れる(異なる3種類から重複を許して10個取る)ときに、袋Aに10球全て入る確率を求める、という問題では、とできないのです。10個の同じ球を袋A，袋B，袋Cに入れる方法の数は66通りですが、66通りの方法の各1通りが、同様に確からしいと言えない、のです。
袋Aに10球全て入る場合と、袋Aに3球、袋Bに3球、袋Cに4球入る場合とは、それぞれ66通りのうちの1通りですが、同様に確からしくありません。確からしさを考える場合には、10球が同じ球であっても、10球に番号をつけて異なる球として考える必要があります。すると、全事象の数は66ではなく、です(重複順列を参照)。
袋Aに10球全て入る場合の数は1通りですが、袋Aに3球、袋Bに3球、袋Cに4球入る場合の数は、通りです。従って、袋Aに10球全て入る確率は，袋Aに3球、袋Bに3球、袋Cに4球入る確率は、です。
参考書の確率の問題の解答で、「全事象の各1通りが同様に確からしい」と、くどくど書いているのは、このためです。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　京大理系数学TOP　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。