京大理系数学'25年前期[2]
正の整数x，y，zを用いて
と表される正の整数Nの最小値を求めよ。
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解答 カンが超鋭いか、今年の西暦年について、
であることを認識していて受験生にとっては易問だったかも知れません(
です)。ここでは、剰余類を用いて正攻法でやってみます。
まず、Nは9の倍数なので、
，
が3の倍数かどうか、その前に、
，
なので、
，
が3の倍数かどうかを調べてみます。
，
がともに3の倍数であれば、
は9の倍数になります。
，
がともに3の倍数でない、とすると、以下の4つの場合があります。以下では、k，lを0以上の整数とします。
(i) 
かつ
のとき、 
が9の倍数になることはありません。(ii) 
かつ
のとき、 
が9の倍数になることはありません。(iii) 
かつ
のとき、 
が9の倍数になることはありません。(iv) 
かつ
のとき、 
が9の倍数になることはありません。
，
のいずれか一方が3の倍数で他方が3の倍数でないときは、kを0以上の整数として、
も
も3の倍数ではないので、
が9の倍数になることはありません。
よって、
も
もともに3の倍数です。即ち、x，yはともに3の倍数で、m，nを正整数として、
，
･･･①
となる正整数zは、
を満たし、これが平方数であるためには、
が平方数である必要があります。m，nに小さい方から正整数値を代入し、
が平方数になるかどうか調べます。
は平方数でなく、
これは平方数ではありません。
であり、m，nを大きくすると
も大きくなるので、この
，
の場合がNの最小値を与えます。
このとき①より、
，
Nの最小値は2025 ......[答]
ちなみに、2番目に小さいのは、
，
，
，
のときの
，
3番目に小さいのは、
，
，
，
のときの
です。
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