京都大学理系2025年数学入試問題
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[1] 次の各問に答えよ。
問1 iは虚数単位とする。複素数zが、絶対値2である複素数全体を動くとき、
の最大値と最小値を求めよ。 問2 次の定積分の値を求めよ。
(1) 
(2) 
[解答へ]
[2] 正の整数x，y，zを用いて
と表される正の整数Nの最小値を求めよ。
[解答へ]
[3] eは自然対数の底とする。
において定義された次の関数
，
を考える。
実数t は
を満たすとする。曲線
上の点
における接線に垂直で、点
を通る直線
とする。直線
がx軸と交わる点のx座標を
とする。t が
の範囲を動くとき、
の取りうる値の範囲を求めよ。
[解答へ]
[4] 座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする。s，t，uは0でない実数とする。直線OA上の点L，直線OB上の点M，直線OC上の点Nを
が成り立つようにとる。
(1) s，t，uが
を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点L，M，Nの定める平面LMNは、s，t，uの値に無関係な一定の点Pを通ることを示せ。さらに、そのような点Pはただ一つに定まることを示せ。 (2) 四面体OABCの体積をVとする。(1)における点Pについて、四面体PABCの体積をVを用いて表せ。
[解答へ]
[5] θは実数とする。xyz空間の2点A
，P
を通る直線APがxy平面と交わるとき、その交点をQとする。θが
の範囲を動くときの点Qの軌跡を求め、その軌跡をxy平面上に図示せよ。
[解答へ]
[6] nは2以上の整数とする。1枚の硬貨を続けてn回投げる。このとき、k回目(
)に表が出たら
，裏が出たら
として、
，
，･･･，
を定める。
とするとき、
が奇数である確率
を求めよ。
[解答へ]
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