京大理系数学'25年前期[5]
θは実数とする。xyz空間の2点A
，P
を通る直線APがxy平面と交わるとき、その交点をQとする。θが
の範囲を動くときの点Qの軌跡を求め、その軌跡をxy平面上に図示せよ。
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解答 軌跡の式を求めるとき少々ゴタつきますが、標準的な問題です。なお、空間ベクトル、2次曲線の媒介変数表示を参照してください。
より、直線AP上の点
について、t を実数として、
･･･①
として、
①に代入して、点Qのx座標，y座標は、
，
･･･②
注．②を
と見ると、極方程式のように見えますが、
においては
となってしまうので、教科書の言う極方程式(
として考える)とは異なることに注意してください。
においては、
です。③より、
よって、
∴ 
･･･④
②より、
･･･⑤
④より、Qの軌跡は、双曲線：
の
の部分。図示すると右図太線(細線：
は漸近線)。
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，
，
･･･③
