京大理系数学'25年前期[6]
nは2以上の整数とする。1枚の硬貨を続けてn回投げる。このとき、k回目(
)に表が出たら
，裏が出たら
として、
，
，･･･，
を定める。
とするとき、
が奇数である確率
を求めよ。
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解答 
の場合、
の場合、
の場合を具体的に調べて行くと、問題のカラクリが見えてきます。
･･･①
回目、k回目に○○と続くときに
となります。
のとき、①は、
，硬貨の出方は以下の4通りあります。●● 
●〇 
〇● 
〇〇 
よって、
が奇数になる確率
は、
･･･① 
のとき、①は、
，硬貨の出方は以下の8通りあります。●●● 
，
，
●●〇 
，
，
●〇● 
，
，
●○○ 
，
，
○●● 
，
，
○●○ 
，
，
○○● 
，
，
○○○ 
，
，
よって、
が奇数になる確率
は、
･･･② 
のとき、①は、
，硬貨の出方は以下の16通りあります。●●●● 
，
，
，
●●●○ 
，
，
，
●●○● 
，
，
，
●●○○ 
，
，
，
●○●● 
，
，
，
●○●○ 
，
，
，
●○○● 
，
，
，
●○○○ 
，
，
，
○●●● 
，
，
，
○●●○ 
，
，
，
○●○● 
，
，
，
○●○○ 
，
，
，
○○●● 
，
，
，
○○●○ 
，
，
，
○○○● 
，
，
，
○○○○ 
，
，
，
よって、
が奇数になる確率
は、
･･･③ 
のときを見ると、n回硬貨投げをして
が奇数になるのは、
回硬貨投げをして
が偶数(上記では、最初の2回で少なくとも一方が●のときで、確率
)で、
回目、n回目で○○と出るとき(確率
)、
回硬貨投げをして
が奇数(上記では、最初の2回が○○のときで、確率
)で、
回目が●、または、
回目、n回目が○○のとき(確率
)、
として、
kを2以上の整数として、
のとき、 ⑤－⑥より、
(
)は、公比
，初項
の等比数列です。
∴ 
･･･⑦
この結果は、
，
より①，③を満たしていて、
のときにも成り立ちます。
同様に、kを2以上の整数として、
のとき、④より、
(
)は、公比
，初項
の等比数列です。
∴ 
･･･⑧
この結果は、
より②を満たしていて、
のときにも成り立ちます。
kを自然数として、
のとき、
，⑦より、
のとき、
，⑧より、
......[答]
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