京大理系数学'25年前期[4]
座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする。s，t，uは0でない実数とする。直線OA上の点L，直線OB上の点M，直線OC上の点Nを
が成り立つようにとる。
(1) s，t，uが
を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点L，M，Nの定める平面LMNは、s，t，uの値に無関係な一定の点Pを通ることを示せ。さらに、そのような点Pはただ一つに定まることを示せ。 (2) 四面体OABCの体積をVとする。(1)における点Pについて、四面体PABCの体積をVを用いて表せ。
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解答 コロコロとカリキュラムを変更する文科省に挑戦状を送り付けたくなる、と言いたげな問題です。なお、空間ベクトルを参照してください。
問題文の
より、
(1) 平面LMN上の点Qは、p，q，rを
を満たす実数として、 
･･･②となりますが、
より
であって、
，
，
とみると、③より、 
･･･④として表さる点Pは、平面LMN上の定点であって、平面LMNは、s，t，uの値に無関係な一定の点Pを通ることを意味します。また、4点O，A，B，Cは同一平面上にないので、
，
，
は1次独立であって、④で定まる点Pは、ただ一つに定まります。
(2) Oから△ABCに下した垂線の足をH，△ABCの面積をSとすると、四面体OABCの体積Vは(四面体の体積を参照)、
･･･⑤△ABCを含む平面と直線OPとの交点をRとすると、kを実数として(右図参照、
，
，
)、 Rは△ABCを含む平面上の点なので、
∴ 
Pから△ABCに下した垂線の足をKとして、△ORH ∽ △PRKより
･･･⑥
四面体PABCの体積
は、⑤，⑥より、 
......[答]
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，
(s，t，uは0でない実数)
，
，
･･･①
，
，
･･･③
