京大理系数学'25年前期[3]

京大理系数学'25年前期[3]

eは自然対数の底とする。

において定義された次の関数

，

を考える。

実数t は

を満たすとする。曲線

上の点

における接線に垂直で、点

を通る直線

とする。直線

がx軸と交わる点のx座標を

とする。t が

の範囲を動くとき、

の取りうる値の範囲を求めよ。

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解答　微分の計算問題です。

を微分すると(積の微分法を参照)、

における接線の傾きは

，この傾きは

において0にならないことに注意すると、直線

は接線と垂直なので、

の傾きは、

の方程式を、

とおくと、

は

を通るので、

よって、

：

　･･･①

直線

がx軸と交わる点のx座標は、①で

とすると、

∴

とすると、

，即ち、

においては

，

の増減表は以下のようになります。

t					1
		－	0	＋	＋
	0

増減表より、

において

の取りうる値の範囲は、

......[答]

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