京大理系数学'26年前期[5]
aは
を満たす実数とする。2つの関数
と
のグラフの、
の部分が囲む領域を
とする。x軸のまわりに
を1回転してできる立体の体積を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 回転体の体積を求める問題ですが、aの値により2通りに分かれることに注意します。
のグラフは
のグラフをx軸負方向にaだけ平行移動させたものです。
のグラフは
のグラフをx軸正方向にaだけ平行移動させたものです。
において
，
において
より、
においては、
であり、
のグラフは
のグラフの上側にあります。
のとき、
，
となるので、
のグラフと
のグラフは、
において交わります。
のとき、
，
となるので、
のグラフと
のグラフは、
において交わります。
のグラフは、
，即ち
のときは、
の範囲でx軸から上側にありますが、
，即ち
のときは、
の範囲のどこかでx軸と交わります。
のとき
とすると、
の範囲においては
となり、
のグラフは、
において、x軸と交わります。
また、
のとき、
のグラフは、
の範囲内の
において、x軸と交わります。
以上の状況をグラフに表すと、
・
においては、右図のようになります。
は、
のグラフと
のグラフの間に挟まれた部分になりますが、
をx軸のまわりに回転すると、
回転したときのグラフを右図の点線で表しますが、回転体は平面
に関して対称になるので、求める立体の体積は、
の部分を回転させたときの回転体の体積
の2倍になります。
は、右図の橙色着色部と水色着色部を合わせた部分、即ち、
のグラフの
の部分とx軸に挟まれた部分をx軸のまわりに回転させたものから、右図の水色着色部、即ち、
のグラフの
の部分とx軸に挟まれた部分をx軸のまわりに回転させたものを引いたものになります。よって、求める体積Vは、
・
においては、右図のようになります。
は、
のグラフと
のグラフの間に挟まれた部分になりますが、これをx軸のまわりに回転すると、
のときと同様に、右図の橙色着色部と水色着色部を合わせた部分、即ち、
のグラフの
の部分とx軸に挟まれた部分をx軸のまわりに回転させたものから、右図の水色着色部、即ち、
のグラフの
の部分とx軸に挟まれた部分をx軸のまわりに回転させたものを引いた体積
の2倍になります。よって、求める体積Vは、
以上より、求める体積は、
のとき、
のとき、
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大理系数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
苦学楽学塾制作です。©2005-2026(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
