ロピタルの定理 関連問題
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として、区間
において連続でかつ、
，
において微分可能な関数
，
について、
(
において)，
，
であるとき、
が存在すれば、
[証明] 
なる任意のxについて、
，
は、
において連続でかつ、
において微分可能で、
より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、
とコーシーの平均値の定理より、
，
を満たすcが存在します。
ここで、
とすると、
∴ 
･･･①
また、
なる任意のxについて、
，
は、
において連続でかつ、
において微分可能で、
より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、
とコーシーの平均値の定理より、
，
を満たすcが存在します。
ここで、
とすると、
∴ 
･･･②
が存在すれば、
よって、①，②より、
(証明終)
上記と同様にして、
，
の場合についても、同様のことが言えます。
については以下のようになります(
も同様です)。
区間
において連続かつ、
において微分可能な関数
，
について、
，
，
であるとき、
が存在すれば、
[証明] 
なる任意のx，pについて、
，
は、
において連続でかつ、
において微分可能で、
より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、コーシーの平均値の定理より、
，
を満たすcが存在します。
ここで、
としてから、
とすれば、
であって、
より、
(証明終)
また、
，
において、
，
となってしまう場合には、
，
が成り立つ範囲において、
とし、
，
とすれば、
，
となって、ロピタルの定理を使うことができます。
ロピタルの定理は不定形の極限を求める場合に使います。
例．
は、
，
とみると、ロピタルの定理の要件を満たすので、
，
，ロピタルの定理より、
として求めることができます。
大学入試において、ロピタルの定理は、解答のみ要求されている場合には便利ですが、高校の教科書に載っていないので、論述式の答案に使ってもよいのかという心配があります。
このときには、以下のようにして、「ロピタルの定理より」という書き方を避ける手があります。
上記の
というような不定形の極限の例の場合、
，
として、
となるので、
として、
∴ 
とすればOKです。
，
型の不定形で極限がうまく求められないときは、この手が使えます。
上記の例では、ロピタルの定理を使わないのであれば、不等式
(
)
(
)
を証明してはさみうちにするしかありません。
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