斜回転体　　　関連問題


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
この項目は、不定積分の公式、x軸のまわりの回転体を参照してください。
曲線のの部分と、直線と、2点， ()から各々直線に下ろした垂線とで囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)を、直線の回りに1回転してできる回転体Kの体積Vを求めてみます。
x軸のまわりの回転体の体積を求めるのと同様に、回転軸に垂直な断面で切ったときの断面の円の面積を回転軸の方向に積分することにより体積を求めます。

として、曲線上の1点Pを通り、直線　･･･① に垂直な直線は、傾きがなので、
　･･･②
①，②を連立して、2直線の交点Hのx座標を求めると、


∴ 　･･･③

点Pと点Hの距離は、点Pから直線に下ろした垂線の長さとして、点と直線の距離の公式を用いると、

これが、点Pを通り直線に垂直な断面で回転体Kを切ったときの断面にできる円の半径になります。
断面の円の面積は、です。

さて、円の面積を回転軸に沿って積分すればよいのですが、この回転軸に沿った座標としては、x座標，y座標などと同様に、原点OからHまでの距離を座標として考えます。
点Hからx軸に垂線HIを下ろし、直角三角形OHIに三平方の定理を適用すると、：： ＝ 1：m：
は③で求めた、点Hのx座標です。よって、

　
　　･･･④

求める体積Vは、より、，として、

ですが、はaの関数の形で与えられていて、このままでは、について積分することができません。
そこで、④式を用いて置換積分します。
④式をaについて微分すると、

ここで、とします。つまり、はaについて単調増加だとします。
∴
：のとき、a： (がaについて単調増加とした仮定による)
∴
　
注．結果の式を公式として暗記しても意味はありません。結果に至る流れを理解してください。

例1．　上記において、，，だとします。
境界の2点，は、，より、ともに直線上の点です。


は満たされています。よって、

　


∴

例2．　放物線と直線で囲まれる図形を直線のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求める。
[解答]　とを連立すると、より、
よって、放物線のの部分を直線の回りに1回転することになります。
として、放物線上の点Pを通り、直線 ･･･①　に垂直な直線は、
　･･･②
①，②を連立して、交点Hのx座標を求めると、

∴ 　･･･③
点Pと直線との距離は、

原点OとHとの距離は、③の倍で、
　･･･④
求める体積Vは、のとき、より、

④式により、置換積分します。④式をaで微分して、

∴
：のとき、a：
∴
　
　
　 ......[答]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　数学基礎事項TOP　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。