円の接線　　　関連問題


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原点Oを中心とする半径rの円：上の点Pにおける円の接線の方程式：
半径と円の接線は垂直なので、点Pにおける接線は、半径OPが乗っている直線と点Pにおいて直交する直線です。
直線OP： ･･･① として、
原点Oを通るので、①でとして、
点Pを通るので、 ･･･②
より、kを0でない実数として、，すれば、②が成り立ちます。
よって、①は、と書けますが、kで割って、直線OP：
直線OPの法線ベクトルはで、これと垂直なベクトルは (内積を計算してみてください)
よって、直線OPと垂直な直線は、 ･･･③ と書けます(2直線の平行と垂直を参照)。
この直線は点Pを通るので、 ･･･④
一方、点Pは円上の点なので、は円の方程式を満たします。
･･･⑤
④，⑤より、
③に代入して、点Pにおける接線の方程式：
(円の方程式を参照)

数学Ⅲ履修者のために、微分を使って公式を導いておきます。
円の方程式： の両辺をxについて陰関数の微分法により微分します。

∴
(即ち、)であれば、点Pにおける接線の傾きは、
点Pにおける接線：
⑤を用いて整理すれば、 が得られます。
、のときの円の接線は、 (複号同順)ですが、に含まれます。

円：の接点における接線を求めてみます。
この円と接点を、円の中心が原点に来るように平行移動させると、
円は、，接点は、に来ます。
接点における接線は、です。
この接線を再び、x方向にa，y方向にbだけ平行移動すると、，として、
円：の接点における接線は、


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