円の接線 関連問題
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原点Oを中心とする半径rの円：
上の点P
における円の接線の方程式：
半径と円の接線は垂直なので、点Pにおける接線は、半径OPが乗っている直線と点Pにおいて直交する直線です。
直線OP：
･･･① として、
原点Oを通るので、①で
として、
点P
を通るので、
･･･②
より、kを0でない実数として、
，
すれば、②が成り立ちます。
よって、①は、
と書けますが、kで割って、直線OP：
直線OPの法線ベクトルは
で、これと垂直なベクトルは
(内積を計算してみてください)
よって、直線OPと垂直な直線は、
･･･③ と書けます(2直線の平行と垂直を参照)。
この直線は点P
を通るので、
･･･④
一方、点Pは円上の点なので、
は円の方程式を満たします。
･･･⑤
④，⑤より、
③に代入して、点Pにおける接線の方程式：
(円の方程式を参照)
数学Ⅲ履修者のために、微分を使って公式を導いておきます。
円の方程式：
の両辺をxについて陰関数の微分法により微分します。
∴ 
(即ち、
)であれば、点P
における接線の傾きは、
点P
における接線：
⑤を用いて整理すれば、
が得られます。
、
のときの円の接線は、
(複号同順)ですが、
に含まれます。
円：
の接点
における接線を求めてみます。
この円と接点を、円の中心が原点に来るように平行移動させると、
円は、
，接点は、
に来ます。
接点
における接線は、
です。
この接線を再び、x方向にa，y方向にbだけ平行移動すると、
，
として、
円：
の接点
における接線は、
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