東工大数学'05年前期[1]
eを自然対数の底とし、数列
を次式で定義する。
(
)(1) 
のとき、次の漸化式を示せ。 (2) 
に対し
なることを示せ。 (3) 
のとき、以下の不等式が成立することを示せ。
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このタイプの問題では、普通は部分積分によって漸化式を導きます。
この問題でも部分積分することを考えます。
被積分関数
は、
と見て、1を
として部分積分を行います。
のとき、 ∴ 
･･･① (
という番号が出てくるので、
という制限をつける必要があります。)番号を1つずらして、
･･･② (
の係数がnでなく、
となることに注意すること。また、
という番号が出てくるので、
という制限をつける必要があります)①－②より、
(
)∴ 
(
)
(2) 関数
は、
において、
でのみ
で、
においては
，よって、 
(
)
(3) (1)と(2)とから
と
に関する関係を作って数学的帰納法というストーリーになるだろうと見当をつけます。 
だとすると、のようになるので、
という形の不等式を作ることを目標にします。
また、
(不定積分の公式を参照)
(1)の結果においてnを
に置き換えると、 
(
) ･･･③
と
の関係を調べることになりますが、③の
が邪魔になります。
これを消すために、(2)のnを
に置き換えて、
，従って、
③に適用すると、∴ 
･･･④
④を用いて、数学的帰納法により与不等式を示します。(Ⅰ) 
のとき、①を用いて、 
と
の大小関係を比べればよいのですが、1次方程式：
を解くと、
なので、
を満たす数として、例えば、
をもってくると、
であって、 ∴ 
∴ 
よって、
のとき、与不等式が成り立ちます。(Ⅱ) 
のとき、与不等式が成り立つと仮定する。このとき、 が成り立ちます。
④より、
よって、
のときも、与不等式が成り立ちます。(Ⅰ)，(Ⅱ)より、
のとき、与不等式が成り立ちます。
注．結局、④を繰り返し用いれば、 となっています。
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においてのみ
(
，
)であり、
において
より、
のとき、
