東工大数学'05年前期[4]
実数x，yが
を満たしながら変化するとする。
(1) 
，
とするとき、点
の動く範囲をst平面上に図示せよ。 (2) 負でない定数
をとるとき、
の最大値、最小値をmを用いて表せ。
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解答 2実数の和と積を扱う問題では注意が必要です。この問題でもそうなのですが、s，tが2実数x，yの和と積になっているというだけで明示的には現れてこない隠れた条件があります。”x，yが実数である”という条件は厳しい条件なのです。x，yが互いに共役な複素数で虚数のとき、
も
も実数になりますが、x，yは実数ではありません。
(1) x，yが実数、という条件を扱うために、x，yを2解とする2次方程式： 
･･･①を考えます。2解x，yは実数なので、①の判別式：
∴ 
･･･②
この②の条件は、問題文の中で、「･･･のための条件」という風に書かれているわけではないので、2実数の和と積が出てきた段階で、2次方程式の判別式をチェックする必要があることを覚えておかないといけません。
･･･④，
･･･⑤④，⑤を連立して交点を求めておきます。
，
∴ 
，このとき、
よって、④，⑤の交点は、
求める領域は、放物線④から下で、放物線⑤から上です。
図示すると、右図斜線部(境界線を含む)になります。
しつこいですが、③だけでは誤答になります。2次方程式が2実数解をもつ条件：②も満たす必要があります。
(2) 
とおくと、 は、st平面上で、傾き：
(
)，t切片：kの直線lを表します。
は(1)で求めた領域内に存在するので、直線lは(1)の領域と共有点をもちます。傾き負の直線を(1)のグラフ上でスライドさせてみてください。(1)の領域は、
の範囲に存在するので、直線lが(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最小になるのは、直線lが点
を通るときと、放物線②に接する場合とに分けられます。
・直線lが放物線⑤の
の部分で接するとき、⑤の導関数：
接線の傾きが
になるのは、
のときで、
と
より、
このとき、 
，
このkの値が最小値になります。
・直線lが
を通るとき、
このkの値が最小値になります。
直線lが(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最大になるのは、直線lが
を通るときです。このとき、 以上より、
は、
，
のとき、最大値：
.......[答]
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より、
･･･③
のとき、
，
のとき、最小値：
......[答]
のとき、
，
のとき、最小値：
......[答]