東工大数学'08年前期[4]
平面の原点Oを端点とし、x軸となす角がそれぞれ、
，α (ただし
)である半直線を
，
とする。
上に点P，
上に点Qを線分PQの長さが1となるようにとり、点Rを、直線PQに対し原点Oの反対側に△PQRが正三角形になるようにとる。
(1) 線分PQがx軸と直交するとき、点Rの座標を求めよ。
(2) 2点P，Qが、線分PQの長さを1に保ったまま
，
上を動くとき、点Rの軌跡はある楕円の一部であることを示せ。
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解答 回転移動については、1次変換を参照してください。
(1) PQとx軸との交点(PQの中点)をMとします。
です。
より、 このとき、Rはx軸上の点で、
∴ 
Rの座標は、
また、
より(内積を参照)、 
･･･①点Qを点Pのまわりに
回転すると点Rに来ます。
を原点のまわりに
回転すると、 より、
これを、始点が原点から点Pにくるように平行移動すると、終点が点Rに来ます。
として、
，
①式を用いて、p，qを消去すると、
∴ 
より、
，
は、0ではない有限な値の定数なので、R
の軌跡は楕円の一部です。
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(
より
)
，
とすると、P，Qの座標は、
，
