東工大数学'09年前期[2]
実数aに対し、次の1次変換
を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。
(1) Lは点
を通る。 (2) 点QがL上にあれば、そのfによる像
もL上にある。
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解答 ‘97年の入試まで頻出であった不動直線の問題ですが、1次変換の行列表現を与えて不動直線を求めよ、というのではなく、不動直線をもつ条件を求めよ、という問題になっています。
(1)の条件より、直線Lを、
(kは実数の定数)または
と表すことができます。
(i) 直線Lが
の場合、
(t は任意の実数)として、
もまた直線L：
上の点になるので、 整理して、
t は任意の実数なので、
とすると、
なので、
よって、
，つまり、
となりますが、
とすると、
なので、
とすると、
∴ 
(このとき、L：
)(ii) 直線Lが
の場合、
(t は任意の実数)として、 もまた直線L：
上の点になるので、 t は任意の実数なので、
(i)，(ii)より、
......[答] 追記．行列
が表す1次変換で、直線：
(
)，直線：
上の点が、各々、もとの直線上に移る条件を考えてみましょう。
直線：
上の点の座標は、tを実数として、
とおけます。
(この場合は
とします)
上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、
より、
bをかけて整理すると、
･･･①
において、
とした
であって、Aが固有値1を持つことを意味しています。
直線：
上の点の座標は、tを実数として、
をおけます。
より、移った先の点が再び直線：
上に来る条件は、
tについて整理して、
tに関わらず成立する条件は、
(i) 
，
の場合は①に含まれます。つまり、Aが固有値1を持ちます。 (ii) 
，
の場合は、
の形であればよいことになります。 (i)は、本問では、
∴ 
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