東工大数学'11年前期[3]
定数kは
をみたすとする。xy平面上の点A
を通りx軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を、2点X，Yが
をみたしながら動いている。原点O
を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき、△OPQの面積の最大値をkを用いて表せ。
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解答 最終的に
の形が出てきますが、2次方程式の解の配置を考えることにより最大値を求めることができます。
，
とすると、
，Y
より、
･･･①
X，Yは第1象限の点なので
より、
また、
で、△OPQの面積Sは、
と①より、
･･･②
とおくと、
であって、①より、
より、
(∵ ①)
より、
これらを②に代入して、
とおくと、
であって、根号内を抜き出して、
･･･③
です。分母を払って整理すると、
･･･④
とおくと、
uの2次方程式④が、
の範囲に実数解をもつ条件は、
なので、④の判別式D，軸位置：
について、
判別式：
軸位置：
･･･⑥ ここで、
より、
に注意すると、
⑤より、
，
⑥より、
，
を考慮して、
⑤ かつ ⑥ ⇔ 
これより、Sの最大値は、
......[答]
注．Sが最大となるのは、
のときですが、このとき、方程式④が重解： をもち、このとき、
です。 別解．③の
をuの関数と見て微分すると、
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･･･⑤ かつ
のときに
をとります。