東工大数学'12年前期[2]
(1) 
として、
の桁数を求めよ。 (2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数を
で表す。10000以下の正の整数nで
がnの約数となるものは何個あるか。
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解答 (1)は常用対数の基本問題、(2)の
も入試でよく見かける題材です。
(1) 
各辺に
を加えて、 ∴ 
各辺から1を引いて、 ∴ 
よって、
の桁数は、48 ......[答]
(2) まず、
として、実験してみます。 | n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| ○ | ○ | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ | ○ | × | × | ○ | × | × | ○ | ○ | × | × | × | ○ | × | × | × | ○ |
表中で、○は、
がnの約数であること、×は、約数でないことを表します。
表から、kを自然数として、
の範囲の中に、整数nで
がnの約数となるものが、
の3個あることがわかります。
の範囲内には、
(
)の範囲に各3個ずつ、さらに、
のとき、
が
の約数になるので、
個 ......[答]
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