東京工業大学2012年前期数学入試問題
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[1] (1) 辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD，辺OCの中点をEとする。2つのベクトル
と
との内積を求めよ。 (2) 1から6までの目がそれぞれ
の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。 [解答へ]
[2] (1) 
として、
の桁数を求めよ。 (2) 実数aに対して、aを越えない最大の整数を
で表す。10000以下の正の整数nで
がnの約数となるものは何個あるか。 [解答へ]
[3] 3次関数
のグラフをC，直線
をlとする。
(1) Cとlが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) aが(1)で求めた範囲内にあるとき、Cとlによって囲まれる部分の面積を
とする。
が最小となるaの値を求めよ。 [解答へ]
[4] nを正の整数とする。数列
を
によって定める。
(1) 
および
を求めよ。 (2) 一般項
を求めよ。 (3) 
とおくとき、
を示せ。 [解答へ]
[5] 行列
で定まる1次変換をf とする。原点O
と異なる任意の2点P，Qに対して
が成り立つ。ただし、
，
はそれぞれP，Qのf による像を表す。
(1) 
を示せ。 (2) 1次変換f により、点
が点
に移るとき、Aを求めよ。 [解答へ]
[6] xyz空間に4点P
，A
，B
，C
をとる。四面体PABCの
をみたす部分の体積を求めよ。
[解答へ]
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