東工大数学'12年前期[6]
xyz空間に4点P
，A
，B
，C
をとる。四面体PABCの
をみたす部分の体積を求めよ。
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解答 断面積を積分するだけの体積の問題ですが、なかなかスンナリとはいきません。東大理系05年前期[6]，東大理系98年前期[6]と似ていますが、本問の方がやや難しい印象を受けます。
四面体PABCの
をみたす部分をTとします。
平面
で切ったときの断面を考えます。
四面体を平面
で切ると、断面は右上図の正三角形DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積
は、対称性を考え、z軸と平面
との交点を
として、正三角形DEFの面積から、扇形
の面積と三角形
の面積の和の3倍を引いたものになります。
右下図で、直線PAの方程式は、
･･･①
の境界線で
として
となるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は①で
として、
，よって、図形Tは、
の部分に存在します。
Dのy座標は①で
として、
からEFに下ろした垂線の足をJとすると、
正三角形DEFの面積
は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形
の面積
は、
より、
扇形
の面積
は、
より、
θ とkとの関係は、
より、
∴ 
･･･②
図形Tの体積Vは、
第1項の積分は、
第2項、第3項の積分は、②によって置換積分することにより、
......[答]
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