東工大数学'12年前期[6]
xyz空間に4点P，A，B，Cをとる。四面体PABCのをみたす部分の体積を求めよ。


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解答　断面積を積分するだけの体積の問題ですが、なかなかスンナリとはいきません。東大理系05年前期[6]，東大理系98年前期[6]と似ていますが、本問の方がやや難しい印象を受けます。

四面体PABCのをみたす部分をTとします。
平面で切ったときの断面を考えます。
四面体を平面で切ると、断面は右上図の正三角形DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積は、対称性を考え、z軸と平面との交点をとして、正三角形DEFの面積から、扇形の面積と三角形の面積の和の3倍を引いたものになります。
右下図で、直線PAの方程式は、
　･･･①
の境界線でとしてとなるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は①でとして、，よって、図形Tは、の部分に存在します。
Dのy座標は①でとして、
からEFに下ろした垂線の足をJとすると、
，
正三角形DEFの面積は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形の面積は、より、
　(三角形の面積を参照)
扇形の面積は、より、
　(弧度法を参照)
θ とkとの関係は、より、
∴ 　･･･②
図形Tの体積Vは、
　(定積分と体積を参照)
第1項の積分は、
第2項、第3項の積分は、②によって置換積分することにより、

k：のとき、θ：
　(部分積分法を参照)
......[答]


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