東工大数学'12年前期[3]
3次関数
のグラフをC，直線
をlとする。
(1) Cとlが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) aが(1)で求めた範囲内にあるとき、Cとlによって囲まれる部分の面積を
とする。
が最小となるaの値を求めよ。
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解答 解と係数の関係を利用するとしても、
をaの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。
C：
･･･①
l：
･･･②
(1) ①，②を連立して、
･･･③原点以外の共有点をもつとき、この方程式は、
以外の解をもちます。つまり、2次方程式、 
･･･④が、
を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
が
を解にもつとき、
より
ですが、このとき、 より、
も解になるので、Cとlは原点以外の共有点をもちます。
のとき、3次方程式③は、
を重解にもつので、Cとlは、
で接し、
で交わります。 ･･･⑤2次方程式④が相異なる実数解をもつとき、 ∴ 
以上より、Cとlが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲は、
......[答]
のとき、④は、重解
をもちます。 ･･･⑥
(2) 
のとき、2次方程式④の2実数解をα，β として、解と係数の関係より、 2次方程式④は、(i) 
のとき、
より、④は正負2解をもちます。 (ii) 
のとき、
より
と合わせて、④は正の解2解をもちます。 (i) 
のとき、④の正の解をβ として、
においてlがCの上に来るので、Cとlによって囲まれる部分の面積は、 ここで、β をaを用いて表せればよいのですが、⑦を用いると根号を含む複雑な式になってしまいます。
より
(⑤に注意)なので、
は、β の増加関数で、また、β もaの増加関数です。そこで、⑦を用いて、
をβ の関数と考えることにします。 とおくと、
より、
はβ の増加関数です。
においては、 
･･･⑧(ii) 
のとき、④の正の解2解をα，β (
)とします。⑦が成り立ちます。 このとき、
は、
において正でCがlの上にあり、
において負でlがCの上にあるので、 とおきます。(i)と同様に、④で
として(⑥に注意)、
より、
(
で重解の場合は、
)なので、
をβ の関数として考えます。この場合も、
は、β の増加関数で、β もaの増加関数です。また、
のとき、
です。 
と⑧とから、
は、
のとき最小で、このとき、
より、⑦を用いて、
が最小となるaは、
......[答]
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，
，
･･･⑦
とすると、
より、増減表は、
のとき、
最小です。
)