東工大数学'12年前期[5]
行列
で定まる1次変換をf とする。原点O
と異なる任意の2点P，Qに対して
が成り立つ。ただし、
，
はそれぞれP，Qのf による像を表す。
(1) 
を示せ。 (2) 1次変換f により、点
が点
に移るとき、Aを求めよ。
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解答 直交変換(1次変換(その2)を参照)を題材とする問題で、慶大理工'09年[B1]にも類題が出題されています。
問題文中
というのは、原点以外の任意の点Pについて、
が一定だということです。
(1) 
･･･① 
(
)，OPとx軸とがなす角をθ とすると、Pの座標は
と表せます。これが、任意の角θ について成立するために、
，
･･･②なぜなら、
でなければ、
より、 が、一定値
となることはありません。
②より、
、即ち、
･･･③
また、
･･･④ が成り立ちます。
(2) ③より、
(
)として、
，
とおくことができます。④より、A
，B
として、
です(内積を参照)。 これより、
，
(複号同順)となります。よって、 ⑦より、
⑥に代入すると、 
(複号同順)
(複号同順) ......[答]
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の座標は、
，
，
とおくと、
(複号同順) ･･･⑤
･･･⑥，
･･･⑦
∴ 
