慶大理工数学'09年[B1]
xy平面上において円C：
と直線l：
を考える。
(1) 行列
で表される1次変換によって、円Cはどのような図形に移るか。理由をつけて答えなさい。 (2) 円Cと直線lとの交点の座標は( ヒ ， フ )，( ヘ ， ホ )である。
(3) 円Cを円Cに移し、直線lを直線lに移す1次変換を表す行列
をすべて求めなさい。求める過程も示すこと。
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解答 (1)は行列を
の形に書き換えると、反時計回りに角θ回転し、k倍の拡大を行う変換であることがわかります。
(3)は、直交変換と呼ばれる1次変換を扱う問題です。1次変換(その2)の直交変換の記述を参照してください。
(1) 
で表される1次変換は、反時計回りに角
回転し
倍の拡大を行います。よって、円Cは半径が
倍の円：
に移ります。
(2) C：
，l：
を連立して、
∴ 
，
(複号同順)
Cとlの交点は、
，
(ヒ)(フ)(へ)(ホ)は順に、
，
，
，
......[答]
(3) Aの表す1次変換が直線l：
上の点
(t は任意の実数)を直線l上に移すので、 
もl：
上の点で、t は任意の実数なので、
･･･①Aの表す1次変換が円C：
上の点
を円C上に移すので、 
も円C：
上の点で、これが、
に一致するために、x，yに依存しない定数a，b，c，dについて、 
，
(内積を参照)
，
(
)とおくと、
より、
(
のx成分とy成分を入れ替え、y成分にマイナスをつけてk倍した)とおけますが、
∴ 
よって、 
，
(複号同順)(i) 
，(ii) 
の2つの場合があります。 (i) 
のとき、①より、 
∴ 
∴ 
∴ 
(ii) 
のとき、①より、 ∴ 
∴ 
∴ 
以上より、
......[答]注．(2)を利用して、Aの表す1次変換により、Cとlの交点がCとlの交点に移る、として、以下のように解答することもできます。
にAの表す1次変換を施すと、 に移りますが、これもまた、
の正負のどちらかなので、 
，
･･･②また、円C上の点
，
はAの表す1次変換により、また円C上に移るので、 
，
より、
，
･･･③②，③を連立することにより、a，b，c，dが求められます。
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