東工大数学'13年前期[2]
2次の正方行列
に対して、
，
と定める。
(1) 2次の正方行列A，Bに対して、
が成り立つことを示せ。 (2) Aの成分がすべて実数で、
が成り立つとき、
と
の値を求めよ。ただし、Eは2次の単位行列とする。
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解答 ケーリー･ハミルトンの定理を利用して次数下げを行う問題です。
(1) 
とします。
(2) (1)を利用して、
Aの成分はすべて実数なので、
も実数です。
∴ 
･･･①
ケーリー・ハミルトンの定理より、 
，
より、
･･･②以後、
が出てくるたびに、
と入れ替えます。 ∴ 
･･･③ これより、③は、
∴ 
･･･④ または 
･･･⑤ ・④のとき、
･･･⑥ ・⑤のとき、
なら
となり
ですが、
と
は両立しないので不適。従って
ですが、
となり、
･･･⑦ とおけば、
の形に書けます。このときは、
となりますが、⑦より、 ∴ 
∴ 
このうち、
，
では、
であって、
が
とならない(
の形であれば⑥より
になる)ので、
･･･⑧ ①，⑥，⑧より、
，
......[答]
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