東工大数学'21年前期[1]
正の整数に関する条件
(＊) 10進法で表したときに、どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) kを正の整数とするとき、
以上かつ
未満であって条件(＊)を満たす正の整数の個数を
とする。このとき、
をkの式で表せ。 (2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、すべての正の整数kに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
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解答 (1)が(2)のヒントになっています。細かく考え込まずに、軽く流す感じで行きましょう。
(1) 
くらいで具体的に考えてみます。
を満たす整数nは、3桁の整数で、どの位にも数字9が現れないのは、
の位が1～8の8通り、
の位が0～8の9通り，10の位が0～8の9通りで、(＊)を満たす整数は、
個あります。 
，かつ、条件(＊)を満たす正の整数nは、同様にして、
の位の数字が1～8の8通り、
の位から
の位までの
桁の数字について0～8の9通りずつあるので、
.....[答](2) (1)の考え方を使って、
の範囲の和を、
，
，
，･･･，
，･･･，
に分けて考えます。即ち、 
として、
，かつ、条件(＊)を満たす
個の整数nについて、
より、
，よって、よって、①より、
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