東京工業大学2021年前期数学入試問題
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[1] 正の整数に関する条件
(＊) 10進法で表したときに、どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) kを正の整数とするとき、
以上かつ
未満であって条件(＊)を満たす正の整数の個数を
とする。このとき、
をkの式で表せ。 (2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、すべての正の整数kに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
[解答へ]
[2] xy平面上の楕円
E：
について、以下の問いに答えよ。
(1) a，bを実数とする。直線
：
と楕円Eが異なる2点を共有するためのa，bの条件を求めよ。 (2) 実数a，b，cに対して、直線
：
と直線m：
がそれぞれ楕円Eと異なる2点を共有しているとする。ただし、
とする。直線
と楕円Eの2つの共有点のうちx座標の小さい方をP，大きい方をQとする。また、直線mと楕円Eの2つの共有点のうちx座標の小さい方をS，大きい方をRとする。このとき、等式 が成り立つためのa，b，cの条件を求めよ。
(3) 楕円E上の4点の組で、それらを4頂点とする四角形が正方形であるものをすべて求めよ。
[解答へ]
[3] 以下の問いに答えよ。
(1) 正の整数nに対して、二項係数に関する次の等式を示せ。
また、これを用いて
は
の倍数であることを示せ。 (2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、
ならば
であることを示せ。 (3) 
が素数となる正の整数nをすべて求めよ。 [解答へ]
[4] Sを、座標空間内の原点Oを中心とする半径1の球面とする。S上を動く点A，B，C，Dに対して
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) 
，
，
，
とするとき、
，
，
，
によらない定数kによって と書けることを示し、定数kを求めよ。
(2) 点A，B，C，Dが球面S上を動くときの、Fの最大値Mを求めよ。
(3) 点Cの座標が
，点Dの座標が
であるとき、
となるS上の点A，Bの組をすべて求めよ。 [解答へ]
[5] xy平面上の円C：
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 円Cが
で表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。 (2) 円Cが
で表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。 (3) aが(2)の範囲にあるとする。xy平面において連立不等式
で表される領域Dを、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
[解答へ]
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