東工大数学'21年前期[5]

xy平面上の円C を考える。以下の問いに答えよ。
(1) Cで表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。
(2) Cで表される領域に含まれるためのaの範囲を求めよ。
(3) a(2)の範囲にあるとする。xy平面において連立不等式
で表される領域Dを、y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答(1)(2)のヒント、というのが出題者の意図だと思われます。(2)は、微分して取り得る値の範囲を求める、という固定観念にとらわれてしまうとうまくいきません。なお、円と放物線の位置関係を参照してください。

(1) Cで表される領域に含まれるためには、曲線上のすべての点 (t は任意の実数)と円Cの中心との距離2乗が円の半径の2以上であればよく、


これが、任意の実数t で成り立つためには、は定数でより、必要十分です。
よって、
......[]
(2) Cで表される領域に含まれるためには、曲線上のすべての点 (t は任意の実数)と円Cの中心との距離の2乗が円の半径の2以上であればよく、
左辺から右辺を引くと、


 ・・・@

これが任意の実数t で成り立つためには、より、が必要十分で、 ......[]
注.@の中カッコ内を ()とおいて関数:を考え、微分し、に持ち込むという方針はうまく行きません。
(3) 曲線は、より、つまりにおいては、となるので、曲線の範囲に存在します。
(2)よりですが、の境界線Cの方は、グラフはの範囲にあるので、,つまり、のときには、の範囲から上側にはみ出します。そこで、の場合と、の場合で、場合分けが必要になります。
のとき、円Cは、(2)の結果と合わせて、かつの範囲に含まれ、円Cy軸の周りに回転させてできる、半径aの球の体積は、
のときには、円Cの部分をy軸の周りに回転することになります。回転してできる球の一部分を平面で切断してできる円の半径の2乗は、円Cの方程式でとして、より、,よって、円Cの部分を回転させてできる回転体の体積は、

かつとなる部分、つまりとなる部分をy軸の周りに回転させてできる回転体の体積は、円筒分割により計算します。前述のようににおいてなので、
(2)より、体積の球の一部あるいは全部は体積の回転体の内部にあるので、求める体積は、
のとき、 ......[]
のとき、 ......[]



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