円と放物線の位置関係 関連問題
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例1．原点でx軸と接する 円 ：
(
)と放物線：
の位置関係を考察します。
放物線：
上の点
と円の中心
との距離dの2乗は、
と円の半径の2乗
との大小関係を考えればよいのですが、
の正負を考えることになります。
ですが、
，つまり、
のとき、全実数tについて、
(等号は
のとき、
)です。このとき、円と放物線は原点で接します。それ以外は
で、放物線上の点は円の外部にあります(不等式の表す領域を参照)。
，つまり、
のとき、
ですが、
，
のとき、
，このとき、放物線上の点は円の内部にあります。
のとき、
，このとき、円と放物線は原点で接します。
，つまり、
のとき、放物線は円と交わります。
，
，つまり、
のとき、
，このとき、放物線上の点は円の外部にあります。
以上まとめると、
(i) 
のとき、円と放物線は原点で接し、それ以外は放物線上の点は円の外部にあります。(ii) 
のとき、円と放物線は原点で接し、
において、交わり、
，
においては放物線上の点は円の内部にあり、
，
においては、放物線上の点は円の外部にあります。
例2．放物線：
と、放物線の軸上に中心をもつ 円 ：
(
，
)の位置関係を考察します。
放物線：
上の点
と円の中心
との距離dの2乗は、
(
)とおくと、
としてuの2次関数と見ると、グラフは
を軸とする放物線です。軸の位置によって場合分けします。
(i) 
，即ち
のとき、
において
は単調増加で、
より、2次方程式
は、・
のとき、解はなく、円と放物線に共有点はありません。 ・
のとき、
という解をもち、このとき、
で、円と放物線は、原点で接します。他に共有点はありません。 ・
のとき、解はなく、円と放物線に共有点はありません。 ・
のとき、
という解をもち、このとき、
において、円と放物線が接します。他に共有点はありません。 ・
のとき、
の範囲に解
，
の範囲に解
をもち、このとき、
，
において、円と放物線は交わります。他に共有点はありません。 ・
のとき、例1の(ii)より、円と放物線は原点で接し、
において交わります。 ・
のとき、
の範囲に解
をもち、
において、円と放物線が交わります。他に共有点はありません。
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のとき、
の範囲に解
をもち、このとき、
において、円と放物線が交わります。他に共有点はありません。
のとき、
，
より、