円と放物線の位置関係　　　関連問題


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例1．原点でx軸と接する 円 ： ()と放物線：の位置関係を考察します。
放物線：上の点と円の中心との距離dの2乗は、
と円の半径の2乗との大小関係を考えればよいのですが、
の正負を考えることになります。ですが、，つまり、のとき、全実数tについて、 (等号はのとき、)です。このとき、円と放物線は原点で接します。それ以外はで、放物線上の点は円の外部にあります(不等式の表す領域を参照)。
，つまり、のとき、
ですが、，のとき、，このとき、放物線上の点は円の内部にあります。
のとき、，このとき、円と放物線は原点で接します。
，つまり、のとき、放物線は円と交わります。
，，つまり、のとき、，このとき、放物線上の点は円の外部にあります。
以上まとめると、
(i) のとき、円と放物線は原点で接し、それ以外は放物線上の点は円の外部にあります。
(ii) のとき、円と放物線は原点で接し、において、交わり、，においては放物線上の点は円の内部にあり、，においては、放物線上の点は円の外部にあります。

例2．放物線：と、放物線の軸上に中心をもつ 円 ： (，)の位置関係を考察します。
放物線：上の点と円の中心との距離dの2乗は、
()とおくと、
としてuの2次関数と見ると、グラフはを軸とする放物線です。軸の位置によって場合分けします。
(i) ，即ちのとき、においては単調増加で、より、2次方程式は、
・のとき、解はなく、円と放物線に共有点はありません。
・のとき、という解をもち、このとき、で、円と放物線は、原点で接します。他に共有点はありません。
・のとき、の範囲に解をもち、このとき、において、円と放物線が交わります。他に共有点はありません。
(ii) ，即ちのとき、，より、2次方程式は、
・のとき、解はなく、円と放物線に共有点はありません。
・のとき、という解をもち、このとき、において、円と放物線が接します。他に共有点はありません。
・のとき、の範囲に解，の範囲に解をもち、このとき、，において、円と放物線は交わります。他に共有点はありません。
・のとき、例1の(ii)より、円と放物線は原点で接し、において交わります。
・のとき、の範囲に解をもち、において、円と放物線が交わります。他に共有点はありません。



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