東工大数学'21年前期[2]
xy平面上の楕円
E：
について、以下の問いに答えよ。
(1) a，bを実数とする。直線
：
と楕円Eが異なる2点を共有するためのa，bの条件を求めよ。 (2) 実数a，b，cに対して、直線
：
と直線m：
がそれぞれ楕円Eと異なる2点を共有しているとする。ただし、
とする。直線
と楕円Eの2つの共有点のうちx座標の小さい方をP，大きい方をQとする。また、直線mと楕円Eの2つの共有点のうちx座標の小さい方をS，大きい方をRとする。このとき、等式 が成り立つためのa，b，cの条件を求めよ。
(3) 楕円E上の4点の組で、それらを4頂点とする四角形が正方形であるものをすべて求めよ。
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解答 素直にやって行くと(3)で、あれれ？ということが起きます。冷静沈着に切り抜けましょう。
(1) 楕円Eの方程式と直線
の方程式を連立すると、 楕円Eと直線
が異なる2点を共有するので、①の判別式は、 求める条件は、
......[答] ･･･② (2) 
という条件ですが、直線
と直線mは傾きが等しいので、
と
は平行です。従って、
となるためには、
が必要です。要するに、
ということは、四角形PQRSが平行四辺形、ということです。 楕円Eと直線
の共有点P，Qのx座標
(
)は、方程式①の解(2次方程式を参照)で、条件②のもとに、 楕円Eの方程式と直線mの方程式を連立すると、①のbをcに入れ替えて、
･･･③楕円Eと直線mも異なる2点を共有するので、③の判別式は、
∴ 
･･･④楕円Eと直線mの共有点S，Rのx座標
(
)は、方程式③の解で、条件④のもとに、 
より、
よって、
，
より、
かつ
，このとき②と④は同じ条件になります。
が成り立つための条件は、
かつ
かつ
......[答]このとき、
(複号の＋が
，－が
) (3) (2)の四角形PQRSが正方形になるためには、(2)の条件に加えて、
かつ
Q，Sのy座標を
，
とすると、Q，Sは、直線
，直線m上の点なので、 直線PQの傾きと直線QSの傾きの積は、
･･･⑤これでは、
となり得ません！(2直線の平行と垂直を参照)ですが、直線の傾きが、aとか
というような形に表せない直線があり得ます。x軸に垂直な直線です。つまり楕円Eと直線
，直線mの交点で正方形ができなくても、x軸に平行な直線とx軸に垂直な直線とで正方形ができないか考えます。x軸に平行な直線は、
と表されます。Eの方程式に代入して、 
∴ 
よって、正方形のx軸に平行な1辺の長さは
です。一方x軸に垂直な1辺の長さは
です。この2辺の長さが等しければ正方形になるので、 このとき、
⑤より正方形の辺が軸と平行にならない場合は存在せず、正方形の4頂点は、
，
，
，
......[答]
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･･･①
(複号の＋が
，－が
)
(複号の＋が
，－が
)
，
(∵ (2)より、
)
，
∴ 