東工大数学'21年前期[3]
以下の問いに答えよ。
(1) 正の整数nに対して、二項係数に関する次の等式を示せ。
また、これを用いて
は
の倍数であることを示せ。 (2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、
ならば
であることを示せ。 (3) 
が素数となる正の整数nをすべて求めよ。
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解答 (1)，(2)は問題ないと思いますが、(3)が一苦労です。ここでは腕尽くで行ってみます。
よって、
･･･①nと
が2以上の公約数mを持つとします。p，qを
となる自然数として、 
，
とおけます。辺々引くと、
に限られ、
に反するので、nと
は互いに素です(証明の技巧を参照)。
この事実と①により、
は
の倍数です。(2) 
のとき、 よって、示せました。
(3) 
，
，
，
とやっていくと、
では、2個以上の整数の積の形になってしまうので、素数になりそうもない、ということがわかります。
まで見ていくと、
が、偶数と奇数の積になりそうなのですが、
で、 となり破綻します。そこで、まず、
の中で、できる限り約分して考えることにします。nが偶数のときと、奇数のときで、分母・分子の数の並び方に違いがあるので、場合分けします。また、(1)より、
は
の倍数なので、
は整数です。 ・kを2以上の自然数として、
のとき、 分母の
から
までのk個の数については、その2倍が分子にいます。これを約分すると
が残ります。
も約分し、約分した残りは、 
･･･③分子の
を除くと、分母分子は
個の数の積になっています。分子に並ぶ数は全て
より大きく、分母に並ぶ数はk以下なので、分子に並ぶ奇数の中に素数があった場合、分母の中に約分できる数はありません。
③の分子の中に複数個の素数がある場合には、それらの素数は分母と約されることはないので、
の素因数分解の中に複数個の素数の積が出てきます。よって、
は素数ではありません。
③の分子の中に素数が1個しかない場合、それをpとすると、
であって、③右辺の分数を、
及び
個の分数の積と見て、 となるので、
(
)より、
は整数なので、これは、
がpと2以上の整数との積になることを意味し、
は素数ではありません。
③の分子の中に素数がない場合は、③の分子を素因数分解して出てくる素数の最大のものをpとすれば、素数が1個しかない場合と同様に、
となり、
は素数ではありません。 ・kを2以上の自然数として、
のときも同様に約分すると、 
･･･④分子の
を除くと、分母分子はk個の数の積になっています。nが偶数の場合と同様に、④の分子の中に素数が複数個あれば、分母と約分できないので、
の素因数分解の中にそのまま残り、
は素数になりません。④の分子の中に素数が1個、あるいは素数がない場合、その素数か、分子を素因数分解したときに現れる最大の素数をpとして、
(
)となるので、
は素数ではありません。 以上より、
のとき、
は素数になりません。
②より、
が素数となる正の整数は、
......[答] 別解．漸化式を利用して、
を複数の2以上の整数の積の形に表す、と言う方針でも解答できます。 nを5以上の整数として、
と
の最大公約数をk，
と
が互いに素なら
とします。p，qを互いに素な自然数として、
，
･･･⑤とおけます。これより、
(1)より、
は
の倍数なので、
は整数です。同様に
も整数ですが、
はqで割り切れます。割り切れなければ
は整数にならないからです。
なので
より
です。また、(2)より、
において
，
において
，⑤より、
，よって、
となり
は1より大きな整数です。
において、
が、1より大きい2個の整数p，
の積の形にかけるので、
は素数になりません。
よって、②より
が素数となる正の整数は、
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より、
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